Dada I=integral0^1 integral4 x^4 e^-y^2 d y d x, faça o que se pede:
Calcule a integral dupla I.

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
I = integral0^1integral4x^4 e^-y^2,dy,dx
e pede que a calculemos. O conteúdo principal é usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração, identificando corretamente a região em que se integra, e em seguida resolver integrais simples.

Passo 2

Primeiro vamos descrever a região de integração no plano (x,y). Temos
0 <= x <= 1, 4x <= y <= 4
Para inverter a ordem, vemos que y varia do mínimo y=4cdot0=0 até y=4. Para cada y fixo entre 0 e 4, a condição 4x<= y com x>=0 vira 0<= x<= tfrac y4. Logo
I = integraly=0^4;integralx=0^y/4 e^-y^2,dx,dy

Passo 3

Como a integral interna não depende de x em e^-y^2, temos
integralx=0^y/4 e^-y^2,dx = e^-y^2;l[xr]0^y/4 = e^-y^2cdot y4
Portanto
I = integral0^4 e^-y^2;y4,dy = 14integral0^4y,e^-y^2,dy

Passo 4

Para calcular integral0^4y,e^-y^2,dy fazemos a substituição t=y^2, dt=2y,dy, ou seja y,dy=dt/2. Assim
integral0^4y,e^-y^2,dy =12integralt=0^16e^-t,dt =12l[-e^-tr]0^16 =12l(1 - e^-16r)
Logo
I = 14times12l(1 - e^-16r) =1 - e^-168

Resposta

I = 1 - e^-168

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