Mostre f(x, y)=raiz|x| sin y é diferenciável em (0,0) e fx não é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=raizlvert xrvert,sin y
é diferenciável em (0,0), mas que a sua derivada parcial fx não é contínua em (0,0).
Para isso vamos:
  1. calcular as derivadas parciais em (0,0) pela definição;
  2. verificar a definição de diferenciabilidade em (0,0);
  3. obter a fórmula de fx(x,y) para xneq0 e achar uma contradição de continuidade.

Passo 2

Calculamos fx(0,0) e fy(0,0) pela definição:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0raiz|h|,sin0-0h =0,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto0raiz0,sin k-0k =0
Logo o candidato a diferencial linear em (0,0) é L(h,k)=0.

Passo 3

Para verificar diferenciabilidade, checamos
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-L(h,k)raizh^2+k^2 =lim(h,k)to(0,0)raiz|h|,sin kraizh^2+k^2
Como lvertsin krvert<=lvert krvert,
l|raiz|h|,sin kr|<= raiz|h|,lvert krvert <= raiz|h|,raizh^2+k^2 =l(h^2+k^2r)^1/4,raizh^2+k^2
Dividindo por raizh^2+k^2 fica
lvert f(h,k)-0rvertraizh^2+k^2 <= (h^2+k^2)^1/4,longrightarrow0 quando (h,k)to(0,0)
Isso mostra que f(h,k)=o(raizh^2+k^2) e, portanto, f é diferenciável em (0,0).

Passo 4

Agora calculamos fx(x,y) para xneq0. Como f(x,y)=|x|^1/2sin y,
fx(x,y) =12|x|^-1/2,sgn(x),sin y =sin y2raiz|x|;sgn(x)

Passo 5

Para ver que fx não é contínua em (0,0) escolhemos, por exemplo, y=pi/2. Então sin y=1 e
fx(x,tfracpi2) =12raiz|x|;sgn(x),
que tende a +infty quando xto0^+ e a -infty quando xto0^-.
Em particular não se aproxima de fx(0,0)=0, logo ,fx não é contínua em (0,0).

Resposta

f é diferenciável em (0,0), mas fx não é contínua em (0,0).

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