Mostre
é diferenciável em
e
não é contínua em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável em
, mas que a sua derivada parcial
não é contínua em
.
Para isso vamos:
Para isso vamos:
- calcular as derivadas parciais em
pela definição; - verificar a definição de diferenciabilidade em
; - obter a fórmula de
para e achar uma contradição de continuidade.
Passo 2
Calculamos
e
pela definição:
Logo o candidato a diferencial linear em
é
.
Passo 3
Para verificar diferenciabilidade, checamos
Como
,
Dividindo por
raizh^2+k^2 fica
Isso mostra que
f(h,k)=o(raizh^2+k^2) e, portanto,
f é diferenciável em
(0,0) .
Passo 4
Agora calculamos
fx(x,y) para
xneq0 . Como
f(x,y)=|x|^1/2sin y ,
Passo 5
Para ver que
fx não é contínua em
(0,0) escolhemos, por exemplo,
y=pi/2 . Então
sin y=1 e
que tende a
+infty quando
xto0^+ e a
-infty quando
xto0^- .
Em particular não se aproxima defx(0,0)=0 , logo
,fx não é contínua em
(0,0) .
Em particular não se aproxima de