Determine se a função é diferenciável em (0,0).
f(x, y)=raiz|x|(1+y^2);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=raiz|x|l(1+y^2r)
é diferenciável em (0,0).
Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial a partir da definição e lembrar que, se f fosse diferenciável em (0,0), as derivadas parciais em x e em y existiriam e seriam finitas.

Passo 2

Cálculo da derivada parcial em x em (0,0) pela definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0raiz|h|(1+0^2)-0h =limhto0raiz|h|h
Para h>0 temos
raizhh=1raizhto+infty,
e para h<0
raiz-hh =raiz|h|-|h| =-1raiz|h|to-infty
Logo esse limite não existe (vai para +infty de um lado e -infty do outro), ou seja
partial fpartial x(0,0)não existe (é infinito) ãé

Passo 3

Como a existência de derivada parcial finita em x em (0,0) é condição necessária para diferenciabilidade, concluímos que não há aproximação linear válida em (0,0). Portanto, f não pode ser diferenciável ali.

Resposta

A função não é diferenciável em (0,0).

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