Dada uma família A=v1, ldots, vk subset R^n, demonstre que vi é combinação linear de A para todo i in1, ldots, k. Em particular, para k=1, isso mostra que todo vetor é combinação linear de si mesmo.

Passo 1

O enunciado dá uma família de vetores A=v1,dots,vksubsetR^n e pede para mostrar que, para cada iin1,dots,k, o vetor vi é combinação linear de A. O conteúdo usado aqui é a própria definição de combinação linear e a construção explícita dos coeficientes.

Passo 2

Lembrando a definição: dizemos que um vetor winR^n é combinação linear de A se existem escalares c1,dots,ckinR tais que
w =sumj=1^kcj,vj
Para provar que vi é combinação linear de A, basta encontrar esses coeficientes cj.

Passo 3

Construímos os coeficientes da seguinte forma: para um índice fixo i,
definimos
cj = 1, & se j=i, 0, & se jneq i

Passo 4

Substituindo na soma, obtemos
sumj=1^kcj,vj =underbrace0cdotv1+cdots+0cdotvi-1=0 +1cdotvi +underbrace0cdotvi+1+cdots+0cdotvk=0 =vi
Logo, vi é combinação linear de A.

Passo 5

Como isso vale para todo iin1,dots,k, concluímos que cada vetor da família pertence ao span de A. Em particular, se k=1 então
v1 = 1cdotv1,
mostrando que todo vetor é combinação linear de si mesmo.

Resposta

Para cada i,
vi = sumj=1^kde<aij,vj,
onde de<aij=1 se i=j e 0 caso contrário.
Em especial, para k=1 temos v1 = 1cdotv1.

Exercícios relacionados