Seja v in R^n combinação linear da família v1, ldots, vk subset R^n, sendo k >= 2. Demonstre que, se vk for combinação linear da família v1, ldots, vk-1, então v é combinação linear da família v1, ldots, vk-1.

Passo 1

O enunciado nos dá um vetor vinR^n que é combinação linear da família v1,dots,vk com k>=2. Além disso, sabemos que vk em si é combinação linear de v1,dots,vk-1. O objetivo é mostrar que, nessas condições, v pertence ao span de v1,dots,vk-1.

Passo 2

Pela definição de combinação linear, existem escalares alpha1,dots,alphakinR tais que
v=sumi=1^kalphai,vi
Como vk é combinação linear de v1,dots,vk-1, existem escalares beta1,dots,betak-1inR tais que
vk=sumj=1^k-1betaj,vj

Passo 3

Substituindo a expressão de vk em v, temos
v =sumi=1^k-1alphai,vi + alphakl(sumj=1^k-1betaj,vjr) =sumi=1^k-1l(alphai+alphak,betair)vi
A última igualdade mostra que v é combinação linear apenas de v1,dots,vk-1, pois os coeficientes alphai+alphakbetai são escalares em R.

Resposta

Ficou demonstrado que v é combinação linear da família v1,dots,vk-1.

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