Seja
combinação linear da família
, sendo
. Demonstre que, se
for combinação linear da família
, então
é combinação linear da família
.
Passo 1
O enunciado nos dá um vetor
que é combinação linear da família
com
. Além disso, sabemos que
em si é combinação linear de
. O objetivo é mostrar que, nessas condições,
pertence ao span de
.
Passo 2
Pela definição de combinação linear, existem escalares
tais que
Como
é combinação linear de
, existem escalares
tais que
Passo 3
Substituindo a expressão de
em
, temos
A última igualdade mostra que
é combinação linear apenas de
, pois os coeficientes
são escalares em
.
Resposta
Ficou demonstrado que
é combinação linear da família
.