Demonstre que 0 in R^n é combinação linear de qualquer família v1, ldots, vk subset R^n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o vetor nulo 0inR^n pode ser escrito como combinação linear de uma família arbitrária de vetores v1,dots,vksubsetR^n. Vamos usar a definição de combinação linear e propriedades do espaço vetorial.

Passo 2

Por definição, um vetor winR^n é combinação linear de v1,dots,vk se existem escalares a1,dots,akinR tais que
w=a1,v1 + a2,v2 + cdots + ak,vk

Passo 3

Escolhemos todos os escalares iguais a zero:
a1=0,;a2=0,;dots,;ak=0
Então, pela propriedade do espaço vetorial de que 0 vezes qualquer vetor é o vetor nulo,
ai,vi=0para todo i=1,dots,k

Passo 4

Fazendo a soma,
0cdotv1 + 0cdotv2 + cdots + 0cdotvk =0 + 0 + cdots + 0 =0
Assim, 0 é de fato combinação linear de v1,dots,vk.

Resposta

Demonstração completa: basta escolher todos os coeficientes iguais a zero.

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