Encontre uma família de vetores v1, v2, v3, v4 subset R^3 tal que cada vetor é combinação linear da família formada pelos demais, mas nenhum vetor é múltiplo de um dos demais.

Passo 1

O que queremos é quatro vetores em R^3 tais que qualquer um deles seja combinação linear dos outros três, mas nenhum seja múltiplo de outro. Em linguagem de álgebra linear, isso equivale a ter um conjunto de quatro vetores de posto (rank) 3 em R^3, de forma que toda subfamília de três vetores seja linearmente independente.

Passo 2

Seja v1,v2,v3,v4subsetR^3 com posto 3. Então qualquer subconjunto de três vetores gera R^3. Em particular, cada vetor é combinação linear dos outros três, pois removendo-o fica um conjunto de três vetores que ainda geram todo o espaço. Basta escolher, por exemplo, três vetores independentes (uma base) e um quarto vetor que seja combinação não trivial dos três.

Passo 3

Tomemos como base canônica de R^3 os vetores
v1 = (1,0,0), v2 = (0,1,0), v3 = (0,0,1)
Agora definimos
v4 = (1,1,1) = v1 + v2 + v3

Passo 4

Verificamos que nenhum vetor é múltiplo de outro:
  • v1,v2,v3 são canônicos e, portanto, não colineares entre si.
  • v4=(1,1,1) não é múltiplo de nenhum deles porque suas três componentes são não nulas e iguais.

Passo 5

Mostramos que cada vetor é combinação linear dos demais:
  • Para v4 já vimos: v4 = v1 + v2 + v3
  • Para v1: v1 = v4 - v2 - v3
  • Para v2: v2 = v4 - v1 - v3
  • Para v3: v3 = v4 - v1 - v2

Resposta

Uma família que satisfaz as condições é
,v1=(1,0,0),;v2=(0,1,0),;v3=(0,0,1),;v4=(1,1,1)

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