Encontre uma família de vetores
tal que cada vetor é combinação linear da família formada pelos demais, mas nenhum vetor é múltiplo de um dos demais.
Passo 1
O que queremos é quatro vetores em
tais que qualquer um deles seja combinação linear dos outros três, mas nenhum seja múltiplo de outro. Em linguagem de álgebra linear, isso equivale a ter um conjunto de quatro vetores de posto (rank) 3 em
, de forma que toda subfamília de três vetores seja linearmente independente.
Passo 2
Seja
com posto 3. Então qualquer subconjunto de três vetores gera
. Em particular, cada vetor é combinação linear dos outros três, pois removendo-o fica um conjunto de três vetores que ainda geram todo o espaço. Basta escolher, por exemplo, três vetores independentes (uma base) e um quarto vetor que seja combinação não trivial dos três.
Passo 3
Tomemos como base canônica de
os vetores
Agora definimos
Passo 4
Verificamos que nenhum vetor é múltiplo de outro:
-
são canônicos e, portanto, não colineares entre si. -
não é múltiplo de nenhum deles porque suas três componentes são não nulas e iguais.
Passo 5
Mostramos que cada vetor é combinação linear dos demais:
- Para
já vimos: - Para
: - Para
: - Para
:
Resposta
Uma família que satisfaz as condições é