No espaço vetorial C^0(R), estabeleça se a função f(x) é combinação linear da família g(x), h(x), sendo f(x)=sin x, g(x)=x e h(x)=x^2.

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial C^0(R) de funções contínuas em R. Temos
f(x)=sin x, g(x)=x, h(x)=x^2,
e queremos ver se existem escalares alpha,betainR tais que, para todo xinR,
alpha,g(x)+beta,h(x)=f(x),
isto é,
alpha x + beta x^2 = sin x forall xinR

Passo 2

Escrevendo a condição nos pontos x=1 e x=2, obteríamos o sistema
alpha + beta = sin 1, 2alpha + 4beta = sin 2
Resolvendo esse sistema para alpha e beta, tem-se
beta = sin 2 - 2sin 12, alpha = 4sin 1 - sin 22

Passo 3

Se a igualdade valesse para todo x, em particular deveria valer para x=3. O lado esquerdo daria
3alpha + 9beta = 3l(sin 2 - sin 1r),
enquanto o lado direito seria sin 3. Mas numericamente
sin 3 neq 3l(sin 2 - sin 1r),
logo não há alpha,beta que satisfazem alpha x + beta x^2 = sin x para todo x.

Resposta

A função f(x)=sin x não é combinação linear de g(x),h(x).

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