Dada uma P.G. finita (
) de modo que
, pergunta-se se é correta a igualdade
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma progressão geométrica finita com dez termos
e as informações:
-
. -
.
A pergunta é: a igualdade
é correta?
Passo 2
Primeiro vamos encontrar a razão da progressão geométrica. Se uma sequência é PG, os termos satisfazem que a razão
é constante e vale
Substituindo os valores dados:
Então a razão da PG é
.
Passo 3
Agora uso a fórmula geral do
-ésimo termo de uma PG. Para uma PG com primeiro termo
e razão
, o termo geral é
onde:
-
é o -ésimo termo; -
é o primeiro termo (aqui ); -
é a razão (aqui ); -
é a posição do termo.
Aplicando para
:
Passo 4
Agora calculo a raiz oitava de
. Uso a propriedade das potências que diz que para quaisquer números positivos
e expoente
vale
e que
. Assim:
Usando
e escrevendo
, obtemos
Agrupando os fatores com expoente
:
Passo 5
Compare com a igualdade proposta. O enunciado diz que seria
Mas acabámos de obter
Portanto a igualdade proposta seria verdadeira somente se
, o que implicaria
(e isso é falso). Outra forma de ver: dividir as duas expressões daria
.
Para intuição numérica rápida:
então
valores diferentes.
Resposta
Não;