Dada uma P.G. finita ( \mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}, \ldots, \mathrm{a}_{10} ) de modo que \mathrm{a}_{1}=2 \mathrm{e} \mathrm{a}_{2}=6, pergunta-se se é correta a igualdade
\left(a_{10}\right)^{\frac{1}{8}}=3 \cdot(2)^{\frac{1}{8}}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma progressão geométrica finita com dez termos \left(a_{1},a_{2},\dots,a_{10}\right) e as informações:
  • a_{1}=2.
  • a_{2}=6.
A pergunta é: a igualdade
\left(a_{10}\right)^{\frac{1}{8}}=3\cdot(2)^{\frac{1}{8}}
é correta?

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a razão da progressão geométrica. Se uma sequência é PG, os termos satisfazem que a razão r é constante e vale
r=\frac{a_{2}}{a_{1}}.
Substituindo os valores dados:
r=\frac{6}{2}=3.
Então a razão da PG é r=3.

Passo 3

Agora uso a fórmula geral do n-ésimo termo de uma PG. Para uma PG com primeiro termo a_{1} e razão r, o termo geral é
a_{n}=a_{1}\cdot r^{\,n-1},
onde:
  • a_{n} é o n-ésimo termo;
  • a_{1} é o primeiro termo (aqui 2);
  • r é a razão (aqui 3);
  • n é a posição do termo.
Aplicando para n=10:
a_{10}=a_{1}\cdot r^{9}=2\cdot 3^{9}.

Passo 4

Agora calculo a raiz oitava de a_{10}. Uso a propriedade das potências que diz que para quaisquer números positivos x,y e expoente k vale
(xy)^{k}=x^{k}y^{k},
e que x^{m n}=(x^{m})^{n}= (x^{n})^{m}. Assim:
\left(a_{10}\right)^{\frac{1}{8}}=\left(2\cdot 3^{9}\right)^{\frac{1}{8}}=2^{\frac{1}{8}}\cdot\left(3^{9}\right)^{\frac{1}{8}}.
Usando \left(3^{9}\right)^{\frac{1}{8}}=3^{\frac{9}{8}} e escrevendo 3^{\frac{9}{8}}=3^{1+\frac{1}{8}}=3\cdot 3^{\frac{1}{8}}, obtemos
\left(a_{10}\right)^{\frac{1}{8}}=2^{\frac{1}{8}}\cdot 3^{\frac{9}{8}}=2^{\frac{1}{8}}\cdot 3\cdot 3^{\frac{1}{8}}=3\cdot\left(2^{\frac{1}{8}}\cdot 3^{\frac{1}{8}}\right).
Agrupando os fatores com expoente \frac{1}{8}:
\left(a_{10}\right)^{\frac{1}{8}}=3\cdot\left(2\cdot 3\right)^{\frac{1}{8}}=3\cdot 6^{\frac{1}{8}}.

Passo 5

Compare com a igualdade proposta. O enunciado diz que seria
\left(a_{10}\right)^{\frac{1}{8}}=3\cdot 2^{\frac{1}{8}}.
Mas acabámos de obter
\left(a_{10}\right)^{\frac{1}{8}}=3\cdot 6^{\frac{1}{8}}.
Portanto a igualdade proposta seria verdadeira somente se 6^{\frac{1}{8}}=2^{\frac{1}{8}}, o que implicaria 6=2 (e isso é falso). Outra forma de ver: dividir as duas expressões daria \dfrac{3\cdot 6^{1/8}}{3\cdot 2^{1/8}}=(3)^{1/8}\neq1.
Para intuição numérica rápida:
2^{\frac{1}{8}}\approx1,090\qquad 6^{\frac{1}{8}}\approx1,251,
então
3\cdot 2^{\frac{1}{8}}\approx3,271\qquad 3\cdot 6^{\frac{1}{8}}\approx3,753,
valores diferentes.

Resposta

Não; \left(a_{10}\right)^{\frac{1}{8}}=3\cdot 6^{\frac{1}{8}}

Exercícios relacionados