Dada
, se
é finito e
é sobrejetiva, mostre que
também é finito.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
, onde o conjunto
é finito, ou seja, tem um número limitado de elementos. A função
é sobrejetiva (ou sobrejetora), o que significa que para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Nosso objetivo é mostrar que, se essas condições são verdadeiras, então o conjunto
também deve ser finito.
Passo 2
Vamos lembrar que se
é finito, isso significa que existe um número finito de elementos em
. Digamos que
tem
elementos. Como
é uma função de
para
, cada um desses
elementos será mapeado para algum elemento em
.
Passo 3
A função sendo sobrejetiva implica que cada elemento de
é a imagem de pelo menos um elemento de
. Isso quer dizer que não pode haver mais elementos em
do que em
, pois temos apenas
elementos em
para cobrir todos os de
.
Passo 4
Vamos supor, para chegar a uma contradição, que
seja infinito. Isso significaria que teríamos que mapear um número finito de elementos de
para um número infinito de elementos de
. Mas isso não seria possível com uma função sobrejetiva, já que cada elemento de
precisa ser alcançado por pelo menos um elemento de
, e
tem apenas
elementos.
Passo 5
Essa suposição de que
é infinito leva a uma contradição, porque não seria possível que um conjunto finito
cubra um conjunto infinito
de forma sobrejetiva.
Resposta
Portanto, concluímos que o conjunto
também deve ser finito.