Dada f: X Y, se X é finito e f é sobrejetiva, mostre que Y também é finito.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função f: X Y , onde o conjunto X é finito, ou seja, tem um número limitado de elementos. A função f é sobrejetiva (ou sobrejetora), o que significa que para todo elemento y em Y , existe pelo menos um elemento x em X tal que f(x) = y . Nosso objetivo é mostrar que, se essas condições são verdadeiras, então o conjunto Y também deve ser finito.

Passo 2

Vamos lembrar que se X é finito, isso significa que existe um número finito de elementos em X . Digamos que X tem n elementos. Como f é uma função de X para Y , cada um desses n elementos será mapeado para algum elemento em Y .

Passo 3

A função sendo sobrejetiva implica que cada elemento de Y é a imagem de pelo menos um elemento de X . Isso quer dizer que não pode haver mais elementos em Y do que em X , pois temos apenas n elementos em X para cobrir todos os de Y .

Passo 4

Vamos supor, para chegar a uma contradição, que Y seja infinito. Isso significaria que teríamos que mapear um número finito de elementos de X para um número infinito de elementos de Y . Mas isso não seria possível com uma função sobrejetiva, já que cada elemento de Y precisa ser alcançado por pelo menos um elemento de X , e X tem apenas n elementos.

Passo 5

Essa suposição de que Y é infinito leva a uma contradição, porque não seria possível que um conjunto finito X cubra um conjunto infinito Y de forma sobrejetiva.

Resposta

Portanto, concluímos que o conjunto Y também deve ser finito.

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