Determine o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n(x+2)^n3^n n^2

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=1^infty (-1)^n(x+2)^n3^nn^2,
que é centrada em x=-2. Precisamos achar o raio de convergência R. Para isso, vamos usar o Critério da Raiz (ou fórmula de Cauchy–Hadamard) que diz que
R=1limsupntoinftyraiz[n]|an|,
onde an é o coeficiente de (x+2)^n.

Passo 2

Identificamos o coeficiente
an = (-1)^n3^nn^2,
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|an| = 13^nn^2
Então precisamos calcular
L=limsupntoinftyraiz[n]|an|

Passo 3

Calculemos
raiz[n]|an|=raiz[n]13^nn^2 =13,(n^2)^-1/n =13expl(-2ln nnr)
Como ln nnto0 quando ntoinfty, temos
limntoinftyraiz[n]|an| =13cdot e^0 =13

Passo 4

Pela fórmula de Cauchy–Hadamard,
R = 1limsupntoinftyraiz[n]|an| = 11/3 =3

Resposta

O raio de convergência da série é R=3.

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