Determinar a matriz inversa da matriz:
K=[ccc-3 & -6 & -12 0 & 3 & -3 -6 & -9 & -24]

Passo 1

Estamos encarregados de encontrar a inversa da matriz
K = -3 & -6 & -12 0 & 3 & -3 -6 & -9 & -24
O conteúdo aqui é inversão de matriz 3times3. Para isso, vamos verificar primeiro se det Kneq0 e em seguida usar a fórmula
K^-1 = 1det K,adj(K),
onde adj(K) é a matriz adjunta (matriz de cofatores transposta).

Passo 2

Calcular o determinante de K por expansão na primeira linha:
det K = (-3)det3 & -3 -9 & -24 -(-6)det0 & -3 -6 & -24 +(-12)det0 & 3 -6 & -9
Agora cada determinante 2times2:
det3 & -3 -9 & -24 =3cdot(-24)-(-3)cdot(-9)=-72-27=-99,
det0 & -3 -6 & -24 =0cdot(-24)-(-3)cdot(-6)= -18,
det0 & 3 -6 & -9 =0cdot(-9)-3cdot(-6)=18
Substituindo:
det K = (-3)(-99) -(-6)(-18) +(-12)(18) =297 -108 -216 = -27
Como det K=-27neq0, K é inversível.

Passo 3

Calculamos a matriz de cofatores C=(Cij), onde
Cij=(-1)^i+jdet(Mij),
e Mij é o menor obtido suprimindo linha i e coluna j. Os resultados são:
C = -99 & 18 & 18 -36 & 0 & 9 54 & -9 & -9
A matriz adjunta é a transposta de C:
adj(K) = C^T = -99 & -36 & 54 18 & 0 & -9 18 & 9 & -9

Passo 4

Usando
K^-1 = 1det K,adj(K) = -tfrac127 -99 & -36 & 54 18 & 0 & -9 18 & 9 & -9 ,
multiplicando cada entrada por -tfrac127 e simplificando frações, obtemos
K^-1 = tfrac113 & tfrac43 & -2[6pt] -tfrac23 & 0 & tfrac13[6pt] -tfrac23 & -tfrac13 & tfrac13
]

Resposta

K^-1 = tfrac113 & tfrac43 & -2 -tfrac23 & 0 & tfrac13 -tfrac23 & -tfrac13 & tfrac13

Exercícios relacionados