Resolva as integrais abaixo
\int_{1}^{2} \frac{x^{5}+2 x^{2}-1}{x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\frac{x^{5}+2x^{2}-1}{x^{4}}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de funções racionais simplificadas em potências de x. Vamos dividir cada termo pelo denominador e depois integrar termo a termo usando a regra da potência.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o integrando dividindo cada termo por x^{4}:
\frac{x^{5}}{x^{4}} = x,\quad \frac{2x^{2}}{x^{4}} = 2x^{-2},\quad \frac{-1}{x^{4}} = -x^{-4}.
Portanto
\frac{x^{5}+2x^{2}-1}{x^{4}} = x + 2x^{-2} - x^{-4}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência para obter uma primitiva F(x):
F(x) = \int\bigl(x + 2x^{-2} - x^{-4}\bigr)\,dx = \int x\,dx + 2\int x^{-2}\,dx - \int x^{-4}\,dx.
Calculando cada parcela:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\quad 2\int x^{-2}\,dx = 2\bigl(-x^{-1}\bigr) = -2x^{-1},\quad \int x^{-4}\,dx = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{x^{-3}}{3}.
Logo,
F(x) = \frac{x^{2}}{2} - 2x^{-1} + \frac{x^{-3}}{3}.

Passo 4

Avaliamo F(x) em x=2 e x=1:
F(2) = \frac{2^{2}}{2} - 2\cdot\frac{1}{2} + \frac{2^{-3}}{3} = 2 - 1 + \frac{1}{24} = 1 + \frac{1}{24} = \frac{25}{24},
F(1) = \frac{1^{2}}{2} - 2\cdot1 + \frac{1^{-3}}{3} = \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = -\frac{7}{6}.
Portanto, a integral é
\int_{1}^{2}\frac{x^{5}+2x^{2}-1}{x^{4}}\,dx = F(2) - F(1) = \frac{25}{24} - \bigl(-\tfrac{7}{6}\bigr) = \frac{25}{24} + \frac{28}{24} = \frac{53}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{53}{24}

Exercícios relacionados