Dada a função f(x)=10 x^{4}+2 x+1 com valores de f(0,1) e f(0,2), determine o valor de P_{1}(0,18). Obs.: P_{1}(x)=a x+b.

Passo 1

O enunciado quer aproximar a função
f(x) = 10x^{4} + 2x + 1
por um polinômio de grau 1, P_{1}(x) = ax + b, que interpola f nos pontos x_{0}=0,1 e x_{1}=0,2. Depois, usar esse P_{1} para estimar f(0,18). O conteúdo é interpolação linear.

Passo 2

Calcular os valores de f nos nós:
f(0,1) = 10\,(0,1)^{4} + 2\,(0,1) + 1 = 10 \cdot 0{,}0001 + 0{,}2 + 1 = 0{,}001 + 0{,}2 + 1 = 1{,}201
f(0,2) = 10\,(0,2)^{4} + 2\,(0,2) + 1 = 10 \cdot 0{,}0016 + 0{,}4 + 1 = 0{,}016 + 0{,}4 + 1 = 1{,}416

Passo 3

Determinar o coeficiente a (inclinação) e b (intercepto) do polinômio P_{1}.
A inclinação é
a = \frac{f(0,2) - f(0,1)}{0,2 - 0,1} = \frac{1{,}416 - 1{,}201}{0{,}1} = \frac{0{,}215}{0{,}1} = 2{,}15.
Em seguida,
b = f(0,1) - a \cdot 0,1 = 1{,}201 - 2{,}15 \times 0{,}1 = 1{,}201 - 0{,}215 = 0{,}986.
Logo
P_{1}(x) = 2{,}15\,x + 0{,}986.

Passo 4

Avaliar P_{1} em x=0,18:
P_{1}(0,18) = 2{,}15 \times 0{,}18 + 0{,}986 = 0{,}387 + 0{,}986 = 1{,}373.

Resposta

P_{1}(0,18)=1{,}373

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