Use o método de Newton para encontrar a raiz aproximada de f(x)=5 x^{4}-\operatorname{sen}(x) com quatro casa decimais e erro E \leq 10^{-2}. Tome x_{0}=0,5 e apresente os resultados na tabela abaixo.
n \mathrm{x}_{\mathrm{n}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right) Erro

Passo 1

Resumindo: queremos aproximar a raiz de
f(x)=5x^{4}-\sin(x)
usando o método de Newton, com chute inicial x_{0}=0,5, até que
|x_{n+1}-x_{n}|\le10^{-2}.
A derivada é
f'(x)=20x^{3}-\cos(x),
e a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 2

Calculamos x_{1} a partir de x_{0}=0,5:
f(0,5)=5\,(0,5)^{4}-\sin(0,5)\approx -0,1669, \quad f'(0,5)=20\,(0,5)^{3}-\cos(0,5)\approx 1,6224,
x_{1}=0,5-\frac{-0,1669}{1,6224}\approx0,6029.
Em seguida,
f(x_{1})\approx0,0932, \quad E_{1}=|x_{1}-x_{0}|\approx0,1029.

Passo 3

Partindo de x_{1}=0,6029:
f(0,6029)\approx0,0932, \quad f'(0,6029)\approx3,5593,
x_{2}=0,6029-\frac{0,0932}{3,5593}\approx0,5767,
f(x_{2})\approx0,0078, \quad E_{2}=|x_{2}-x_{1}|\approx0,0262.

Passo 4

Com x_{2}=0,5767:
f(0,5767)\approx0,0078, \quad f'(0,5767)\approx2,9977,
x_{3}=0,5767-\frac{0,0078}{2,9977}\approx0,5741,
f(x_{3})\approx0,0000, \quad E_{3}=|x_{3}-x_{2}|\approx0,0026\le10^{-2},
logo já atendemos ao critério de erro e paramos.

Resposta

[
n x_{n} f(x_{n}) Erro
1 0,6029 0,0932 0,1029
2 0,5767 0,0078 0,0262
3 0,5741 0,0000 0,0026
]

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