Determinar o valor de \mathrm{I}=\int_{2}^{3,2}[\ln (x+2)-1] d x para \mathrm{n}=6, aplicando a 2^{\mathrm{a}} regra de Simpson.
Use a tabela seguinte para armazenar os dados.
i \mathrm{X}_{\mathrm{i}} \mathrm{Y}_{\mathrm{i}}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right) \mathrm{C}_{\mathrm{i}}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I=\int_{2}^{3,2}\bigl[\ln(x+2)-1\bigr]\,dx
usando a 2ª regra de Simpson composta com n=6. Vamos calcular o tamanho do passo h, avaliar a função nos nós x_i e aplicar a fórmula de Simpson.

Passo 2

Calcular o passo e montar a tabela de valores:
h=\frac{3,2-2}{6}=0,2.
Para i=0,1,\dots,6, temos x_i=2+i\,h, y_i=f(x_i)=\ln(x_i+2)-1 e os coeficientes de Simpson C_i (1 nas extremidades, 4 nos ímpares e 2 nos pares):
i x_i y_i=\ln(x_i+2)-1 C_i
0 2,0 0,3863 1
1 2,2 0,4351 4
2 2,4 0,4816 2
3 2,6 0,5266 4
4 2,8 0,5686 2
5 3,0 0,6094 4
6 3,2 0,6487 1

Passo 3

Calcular a soma ponderada
S=\sum_{i=0}^{6}C_i\,y_i =1\cdot0,3863+4\cdot0,4351+2\cdot0,4816+4\cdot0,5266+2\cdot0,5686+4\cdot0,6094+1\cdot0,6487 =9,4198.

Passo 4

Aplicar a fórmula de Simpson composta:
I\approx \frac{h}{3}\,S =\frac{0,2}{3}\times9,4198 \approx0,62799.

Resposta

I\approx0,6280.

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