Use o Método de Newton prova demonstrar que a equação
x_{n+1}=\frac{1}{p}\left[(p-1) x_{n}+\frac{a}{x_{n}{ }^{\beta-1}}\right], pode ser usada para calcular \sqrt[B]{a}, a \geq 0. Calcule, em seguida, usado o resultado acima \sqrt{17}, partindo de \mathrm{x}_{0}=4, faça quatro iterações.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, aplicando o Método de Newton à função
f(x)=x^{p}-a,
obtém-se a iteração
x_{n+1}=\frac{1}{p}\Bigl[(p-1)\,x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{\,p-1}}\Bigr],
a qual converge para \sqrt[p]{a} quando a\ge0. Em seguida, vamos usar esse caso com p=2 e a=17 para aproximar \sqrt{17} partindo de x_{0}=4 e fazer quatro iterações.

Passo 2

Definimos
f(x)=x^{p}-a,
de modo que
f'(x)=p\,x^{\,p-1}.
Pelo Método de Newton, a regra de iteração é
x_{n+1} =x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} =x_{n}-\frac{x_{n}^{p}-a}{p\,x_{n}^{\,p-1}}.

Passo 3

Fatorando x_{n} em x_{n}^{p}-a, temos
x_{n+1} =x_{n}-\frac{x_{n}^{p}-a}{p\,x_{n}^{\,p-1}} =\frac{1}{p}\Bigl[p\,x_{n}-\bigl(x_{n}^{p}-a\bigr)\,x_{n}^{\,1-p}\Bigr] =\frac{1}{p}\Bigl[(p-1)\,x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{\,p-1}}\Bigr].
Como f(\sqrt[p]{a})=0, essa sequência converge para \sqrt[p]{a}.

Passo 4

Agora, para calcular \sqrt{17} basta tomar p=2 e a=17. A iteração fica
x_{n+1} =\frac{1}{2}\Bigl(x_{n}+\frac{17}{x_{n}}\Bigr).

Passo 5

Começando com x_{0}=4, calculamos:
x_{1} =\frac{1}{2}\Bigl(4+\frac{17}{4}\Bigr) =\frac{1}{2}\bigl(4+4{,}25\bigr) =4{,}125,
x_{2} =\frac{1}{2}\Bigl(4{,}125+\frac{17}{4{,}125}\Bigr) \approx4{,}123106061.

Passo 6

Continuando:
x_{3} =\frac{1}{2}\Bigl(4{,}123106061+\frac{17}{4{,}123106061}\Bigr) \approx4{,}123105628,
x_{4} =\frac{1}{2}\Bigl(4{,}123105628+\frac{17}{4{,}123105628}\Bigr) \approx4{,}123105626.

Resposta

x_{1}=4{,}125 x_{2}\approx4{,}123106061 x_{3}\approx4{,}123105628 x_{4}\approx4{,}123105626

Exercícios relacionados