Dada a função f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-3}, determine:
a) O domínio de f.
b) Os zeros de f.
c) Determine se a função f é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
d) Determine os interceptos com os eixos, caso existam.
e) Determine um número x no domínio de f tal que f(x)=-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-3}.
As perguntas que precisamos responder são:
  • (a) Determinar o domínio de f.
  • (b) Encontrar os zeros de f.
  • (c) Dizer se f é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
  • (d) Determinar os interceptos com os eixos x e y, se existirem.
  • (e) Determinar um número x no domínio de f tal que f(x)=-1.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão de f(x) é uma fração; portanto qualquer x que faça o denominador igual a zero não pertence ao domínio (ou seja, não é permitido ter divisão por zero).
  • O numerador é x^{2}+1.
  • O denominador é x-3.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Explicação conceitual rápida: o domínio de uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} é o conjunto de todos os números reais x tais que o denominador Q(x) não seja zero (porque divisão por zero não está definida). Aqui Q(x)=x-3.
Encontrar os x proibidos resolvendo
x-3=0.
Solução:
x=3.
Portanto x=3 não pertence ao domínio. Todos os outros reais são permitidos.
Conclusão:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{3\}.

Passo 3

Encontrar os zeros de f.
Explicação conceitual: zeros (ou raízes) da função são os valores de x para os quais f(x)=0. Para uma fração \dfrac{P(x)}{Q(x)}, isso acontece exatamente quando o numerador P(x)=0 e o denominador Q(x)\neq0 (ou seja, a raiz do numerador que não anula o denominador).
Aqui o numerador é x^{2}+1. Igualamos a zero:
x^{2}+1=0.
Resolvendo:
x^{2}=-1.
No conjunto dos números reais não existe x tal que x^{2}=-1. (As soluções seriam x=\pm i, que são complexas, não reais.)
Logo não há zeros reais de f. Em outras palavras, f(x) nunca é zero para nenhum x real do domínio.

Passo 4

Determinar se f é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Explicação conceitual (definições):
  • Uma função é par se, para todo x no domínio, vale f(-x)=f(x). Isso exige que o domínio seja simétrico em torno de zero (se x está no domínio, -x também deve estar).
  • Uma função é ímpar se, para todo x no domínio, vale f(-x)=-f(x). Também exige domínio simétrico.
Primeiro verifique a simetria do domínio:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{3\}.
Note que 3\notin\text{Dom}(f) mas -3\in\text{Dom}(f). Assim o domínio NÃO é simétrico em torno de zero (porque falta 3 mas está presente -3). Pelo critério de domínio, uma função com domínio não simétrico não pode ser, no sentido global, nem par nem ímpar.
Para reforçar, faço também a verificação algébrica de f(-x):
f(-x)=\frac{(-x)^{2}+1}{-x-3}=\frac{x^{2}+1}{-x-3}.
Podemos escrever o denominador como -x-3=-(x+3), então
f(-x)=-\frac{x^{2}+1}{x+3}.
Compare com f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x-3}. Não são iguais em geral, e tampouco f(-x)=-f(x) em geral, porque isso exigiria
-\frac{x^{2}+1}{x+3}=-\frac{x^{2}+1}{x-3}
o que implicaria \dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{x-3} para valores onde x^{2}+1\neq0, e isso não é verdade para todos x. Por exemplo tome x=1:
f(1)=\frac{1^{2}+1}{1-3}=\frac{2}{-2}=-1, \qquad f(-1)=\frac{1^{2}+1}{-1-3}=\frac{2}{-4}=-\tfrac{1}{2},
logo f(-1)\neq f(1) e f(-1)\neq -f(1).
Conclusão: f não é par nem ímpar. (Argumento do domínio já bastaria.)

Passo 5

Determinar os interceptos com os eixos.
Explicação conceitual:
  • Intercepto com o eixo x (ou x-intercept) é ponto onde y=0, isto é f(x)=0. Esses são exatamente os zeros reais da função (já analisados no Passo 3).
  • Intercepto com o eixo y (ou y-intercept) é o valor f(0), se 0 estiver no domínio.
X-intercept:
Do Passo 3 concluímos que não existem zeros reais. Portanto não há interceptos com o eixo x.
Y-intercept:
Calcular f(0). Como 0\in\text{Dom}(f),
f(0)=\frac{0^{2}+1}{0-3}=\frac{1}{-3}=-\tfrac{1}{3}.
Portanto o intercepto com o eixo y é o ponto \bigl(0,-\tfrac{1}{3}\bigr).

Passo 6

Determinar um número x no domínio de f tal que f(x)=-1.
Escrevo a equação e resolvo:
\frac{x^{2}+1}{x-3}=-1.
Multiplico ambos os lados por x-3. Atenção: isso é válido só para x\neq3 (e x=3 já não está no domínio), então não introduzo solução inválida:
x^{2}+1 = -1\cdot (x-3)= -x+3.
Passo todos os termos para um lado:
x^{2}+1 + x - 3 = 0
x^{2}+x-2=0.
Essa é uma quadrática que pode ser fatorada:
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
Portanto as soluções são
x=-2 \quad\text{ou}\quad x=1.
Verificação rápida de domínio: x=-2 e x=1 são diferentes de 3, logo ambos pertencem ao domínio. Podemos confirmar substituindo em f:
f(-2)=\frac{(-2)^{2}+1}{-2-3}=\frac{4+1}{-5}=\frac{5}{-5}=-1,
f(1)=\frac{1^{2}+1}{1-3}=\frac{2}{-2}=-1.
Ambos funcionam. A pergunta pedia “um número x”, então qualquer um dos dois serve; posso listar os dois.

Resposta

(a) \text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{3\}
(b) Não há zeros reais (nenhum x\in\mathbb{R} com f(x)=0)
(c) Nem par nem ímpar
(d) Intercepto com o eixo x: nenhum
Intercepto com o eixo y: \bigl(0,-\tfrac{1}{3}\bigr)
(e) x=-2 ou x=1 (ambos satisfazem f(x)=-1)

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