Dada a função
, determine:
a) O domínio de
.
b) Os zeros de
.
c) Determine se a função
é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
d) Determine os interceptos com os eixos, caso existam.
e) Determine um número
no domínio de
tal que
.
a) O domínio de
b) Os zeros de
c) Determine se a função
d) Determine os interceptos com os eixos, caso existam.
e) Determine um número
Passo 1
O enunciado nos dá a função racional
As perguntas que precisamos responder são:
- (a) Determinar o domínio de
. - (b) Encontrar os zeros de
. - (c) Dizer se
é par, ímpar ou nem par nem ímpar. - (d) Determinar os interceptos com os eixos
e , se existirem. - (e) Determinar um número
no domínio de tal que .
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão de
é uma fração; portanto qualquer que faça o denominador igual a zero não pertence ao domínio (ou seja, não é permitido ter divisão por zero). - O numerador é
. - O denominador é
.
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Explicação conceitual rápida: o domínio de uma função racional
é o conjunto de todos os números reais
tais que o denominador
não seja zero (porque divisão por zero não está definida). Aqui
.
Encontrar os
proibidos resolvendo
Solução:
Portanto
não pertence ao domínio. Todos os outros reais são permitidos.
Conclusão:
Passo 3
Encontrar os zeros de
.
Explicação conceitual: zeros (ou raízes) da função são os valores de
para os quais
. Para uma fração
, isso acontece exatamente quando o numerador
e o denominador
(ou seja, a raiz do numerador que não anula o denominador).
Aqui o numerador é
. Igualamos a zero:
Resolvendo:
No conjunto dos números reais não existe
tal que
. (As soluções seriam
, que são complexas, não reais.)
Logo não há zeros reais de
. Em outras palavras,
nunca é zero para nenhum
real do domínio.
Passo 4
Determinar se
é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Explicação conceitual (definições):
- Uma função é par se, para todo
no domínio, vale . Isso exige que o domínio seja simétrico em torno de zero (se está no domínio, também deve estar). - Uma função é ímpar se, para todo
no domínio, vale . Também exige domínio simétrico.
Primeiro verifique a simetria do domínio:
Note que
mas
. Assim o domínio NÃO é simétrico em torno de zero (porque falta
mas está presente
). Pelo critério de domínio, uma função com domínio não simétrico não pode ser, no sentido global, nem par nem ímpar.
Para reforçar, faço também a verificação algébrica de
:
Podemos escrever o denominador como
, então
Compare com
. Não são iguais em geral, e tampouco
em geral, porque isso exigiria
o que implicaria
para valores onde
, e isso não é verdade para todos
. Por exemplo tome
:
logo
e
.
Conclusão:
não é par nem ímpar. (Argumento do domínio já bastaria.)
Passo 5
Determinar os interceptos com os eixos.
Explicação conceitual:
- Intercepto com o eixo
(ou x-intercept) é ponto onde , isto é . Esses são exatamente os zeros reais da função (já analisados no Passo 3). - Intercepto com o eixo
(ou y-intercept) é o valor , se estiver no domínio.
X-intercept:
Do Passo 3 concluímos que não existem zeros reais. Portanto não há interceptos com o eixo .
Do Passo 3 concluímos que não existem zeros reais. Portanto não há interceptos com o eixo
Y-intercept:
Calcular . Como
,
Calcular
Portanto o intercepto com o eixo
é o ponto
.
Passo 6
Determinar um número
no domínio de
tal que
.
Escrevo a equação e resolvo:
Multiplico ambos os lados por
. Atenção: isso é válido só para
(e
já não está no domínio), então não introduzo solução inválida:
Passo todos os termos para um lado:
Essa é uma quadrática que pode ser fatorada:
Portanto as soluções são
Verificação rápida de domínio:
e
são diferentes de
, logo ambos pertencem ao domínio. Podemos confirmar substituindo em
:
Ambos funcionam. A pergunta pedia “um número
”, então qualquer um dos dois serve; posso listar os dois.
Resposta
(a)
(b) Não há zeros reais (nenhum
com
)
(c) Nem par nem ímpar
(d) Intercepto com o eixo
: nenhum
Intercepto com o eixo :
Intercepto com o eixo
(e)
ou
(ambos satisfazem
)