Dada a funçāo . Após inspeçăo gráfica foi observado que possuí uma única raiz no intervalo . Use o método da Iteraçăo Linear (MPF) para determinar a raiz procurada, considerando precisảo e chute inicial . Mostre que a funçăo de iteraçăo adota será convergente no intervalo .
Passo 1
Então, a gente tem a função e descobriu pelo gráfico que ela cruza o eixo x só uma vez no intervalo . A parada é encontrar essa raiz usando o Método da Iteração Linear, também conhecido como MPF. Para isso, vamos precisar de:
Função de iteração: uma reescrita de na forma
Chute inicial:
Precisão:
Vamos lá, passo a passo!
Passo 2
Primeiro, a gente transforma a equação em . Podemos rearranjar a função para isolar :
Então, nossa função de iteração é:
Passo 3
Agora, pra garantir que o método vai convergir, precisamos checar se a derivada de , ou seja, , tem módulo menor que 1 no intervalo .
Vamos calcular :
Vamos avaliar o máximo de no intervalo .
Sabemos que cresce de até e vai de 0 até cerca de 0.841.
Então,
Oops! Isso é maior que 1, então precisamos ajustar nossa função de iteração para garantir a convergência. Vamos tentar outra forma de rearranjar a equação.
Outra forma possível:
Então,
Agora, a nova função de iteração é:
Vamos calcular a derivada dessa nova :
Agora, no intervalo :
varia de 0 a aproximadamente 0.841
varia de até
Portanto,
Perfeito! Agora temos uma função de iteração que garante a convergência no intervalo.
Passo 4
Vamos iniciar o método com o chute inicial x0 = 1 e aplicar as iterações até que a diferença entre dois passos consecutivos seja menor que varepsilon = 10^-3 .