Dada a funçāo f(x)=e^x-3+cos(x). Após inspeçăo gráfica foi observado que f(x) possuí uma única raiz no intervalo I=[0,1]. Use o método da Iteraçăo Linear (MPF) para determinar a raiz procurada, considerando precisảo varepsilon=10^-3 e chute inicial x0=1. Mostre que a funçăo de iteraçăo adota será convergente no intervalo l.

Passo 1

Então, a gente tem a função f(x) = e^x - 3 + cos(x) e descobriu pelo gráfico que ela cruza o eixo x só uma vez no intervalo [0, 1]. A parada é encontrar essa raiz usando o Método da Iteração Linear, também conhecido como MPF. Para isso, vamos precisar de:
  • Função de iteração: uma reescrita de f(x) = 0 na forma x = g(x)
  • Chute inicial: x0 = 1
  • Precisão: varepsilon = 10^-3
Vamos lá, passo a passo!

Passo 2

Primeiro, a gente transforma a equação f(x) = 0 em x = g(x) . Podemos rearranjar a função para isolar x :
f(x) = e^x - 3 + cos(x) = 0 Rightarrow x = e^x + cos(x) - 3
Então, nossa função de iteração é:
g(x) = e^x + cos(x) - 3

Passo 3

Agora, pra garantir que o método vai convergir, precisamos checar se a derivada de g(x) , ou seja, g'(x) , tem módulo menor que 1 no intervalo [0, 1].
Vamos calcular g'(x) :
g'(x) = ddx ( e^x + cos(x) - 3 ) = e^x - sin(x)
Vamos avaliar o máximo de |g'(x)| no intervalo [0, 1].
Sabemos que e^x cresce de e^0 = 1 até e^1 approx 2.718 e sin(x) vai de 0 até cerca de 0.841.
Então,
g'(x) = e^x - sin(x) <= 2.718 - 0 = 2.718
Oops! Isso é maior que 1, então precisamos ajustar nossa função de iteração para garantir a convergência. Vamos tentar outra forma de rearranjar a equação.
Outra forma possível:
f(x) = 0 Rightarrow e^x + cos(x) = 3 Rightarrow e^x = 3 - cos(x)
Então,
x = ln(3 - cos(x))
Agora, a nova função de iteração é:
g(x) = ln(3 - cos(x))
Vamos calcular a derivada dessa nova g(x) :
g'(x) = ddx ln(3 - cos(x)) = sin(x)3 - cos(x)
Agora, no intervalo [0, 1]:
  • sin(x) varia de 0 a aproximadamente 0.841
  • 3 - cos(x) varia de 3 - 1 = 2 até 3 - cos(1) approx 3 - 0.540 = 2.460
Portanto,
|g'(x)| = | sin(x)3 - cos(x) | <= 0.8412 = 0.4205 < 1
Perfeito! Agora temos uma função de iteração que garante a convergência no intervalo.

Passo 4

Vamos iniciar o método com o chute inicial x0 = 1 e aplicar as iterações até que a diferença entre dois passos consecutivos seja menor que varepsilon = 10^-3 .
A fórmula de iteração é:
xn+1 = ln(3 - cos(xn))
Vamos calcular:
  1. Primeira iteração ( n = 0 ):
x1 = ln(3 - cos(1)) approx ln(3 - 0.5403) = ln(2.4597) approx 0.8993
  1. Segunda iteração ( n = 1 ):
x2 = ln(3 - cos(0.8993)) approx ln(3 - 0.6235) = ln(2.3765) approx 0.8651
Verificamos a diferença:
|x2 - x1| = |0.8651 - 0.8993| = 0.0342 > 0.001
  1. Terceira iteração ( n = 2 ):
x3 = ln(3 - cos(0.8651)) approx ln(3 - 0.6477) = ln(2.3523) approx 0.8554
Diferença:
|x3 - x2| = |0.8554 - 0.8651| = 0.0097 > 0.001
  1. Quarta iteração ( n = 3 ):
x4 = ln(3 - cos(0.8554)) approx ln(3 - 0.6559) = ln(2.3441) approx 0.8502
Diferença:
|x4 - x3| = |0.8502 - 0.8554| = 0.0052 > 0.001
  1. Quinta iteração ( n = 4 ):
x5 = ln(3 - cos(0.8502)) approx ln(3 - 0.6590) = ln(2.3410) approx 0.8467
Diferença:
|x5 - x4| = |0.8467 - 0.8502| = 0.0035 > 0.001
  1. Sexta iteração ( n = 5 ):
x6 = ln(3 - cos(0.8467)) approx ln(3 - 0.6606) = ln(2.3394) approx 0.8450
Diferença:
|x6 - x5| = |0.8450 - 0.8467| = 0.0017 > 0.001
  1. Sétima iteração ( n = 6 ):
x7 = ln(3 - cos(0.8450)) approx ln(3 - 0.6616) = ln(2.3384) approx 0.8442
Diferença:
|x7 - x6| = |0.8442 - 0.8450| = 0.0008 < 0.001

Resposta

A raiz aproximada da função f(x) = e^x - 3 + cos(x) no intervalo [0, 1] usando o Método da Iteração Linear é:
x approx 0.8442

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