Encontre um intervalo que contenha uma raiz positiva da funçāo
e prove que ela é única no intervalo especificado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrarmos um intervalo que contenha uma raiz positiva da função
e mostrar que essa raiz é única nesse intervalo. Para isso, vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário e verificar a derivada da função para garantir a unicidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma raiz da função. Uma raiz é um valor de
onde
. Queremos encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, passa de positivo para negativo ou vice-versa. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular
em alguns valores positivos de
para ver onde ocorre essa mudança de sinal.
Vamos começar com
:
Agora,
:
E
:
Vemos que
,
e
. Há uma mudança de sinal entre
e
, indicando que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Agora que sabemos que há uma raiz entre 5 e 6, precisamos provar que essa raiz é única nesse intervalo. Para isso, vamos analisar a derivada da função
.
A derivada de
é:
Vamos verificar se
é sempre positiva ou sempre negativa no intervalo [5,6]. Se for sempre positiva ou sempre negativa, a função é monotônica e, portanto, a raiz será única.
Calculando
:
E
:
Como
e
, a derivada é positiva em todo o intervalo [5,6]. Isso significa que a função
é crescente nesse intervalo e, portanto, só pode cruzar o eixo x uma vez.
Resposta
Portanto, o intervalo
contém exatamente uma raiz positiva da função
.