Encontre um intervalo que contenha uma raiz positiva da funçāo f(x)=x^3-7.15 x^2+4.1183 x+23.4344 e prove que ela é única no intervalo especificado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrarmos um intervalo que contenha uma raiz positiva da função f(x) = x^3 - 7.15x^2 + 4.1183x + 23.4344 e mostrar que essa raiz é única nesse intervalo. Para isso, vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário e verificar a derivada da função para garantir a unicidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma raiz da função. Uma raiz é um valor de x onde f(x) = 0 . Queremos encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, passa de positivo para negativo ou vice-versa. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular f(x) em alguns valores positivos de x para ver onde ocorre essa mudança de sinal.
Vamos começar com x = 4 :
f(4) = 4^3 - 7.15 times 4^2 + 4.1183 times 4 + 23.4344 = 64 - 7.15 times 16 + 16.4732 + 23.4344
f(4) = 64 - 114.4 + 16.4732 + 23.4344 approx -10.4924
Agora, x = 5 :
f(5) = 5^3 - 7.15 times 5^2 + 4.1183 times 5 + 23.4344 = 125 - 7.15 times 25 + 20.5915 + 23.4344
f(5) = 125 - 178.75 + 20.5915 + 23.4344 approx -9.7241
E x = 6 :
f(6) = 6^3 - 7.15 times 6^2 + 4.1183 times 6 + 23.4344 = 216 - 7.15 times 36 + 24.7098 + 23.4344
f(6) = 216 - 257.4 + 24.7098 + 23.4344 approx 6.7442
Vemos que f(4) approx -10.49 , f(5) approx -9.72 e f(6) approx 6.74 . Há uma mudança de sinal entre x = 5 e x = 6 , indicando que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora que sabemos que há uma raiz entre 5 e 6, precisamos provar que essa raiz é única nesse intervalo. Para isso, vamos analisar a derivada da função f(x) .
A derivada de f(x) é:
f'(x) = 3x^2 - 14.3x + 4.1183
Vamos verificar se f'(x) é sempre positiva ou sempre negativa no intervalo [5,6]. Se for sempre positiva ou sempre negativa, a função é monotônica e, portanto, a raiz será única.
Calculando f'(5) :
f'(5) = 3 times 5^2 - 14.3 times 5 + 4.1183 = 75 - 71.5 + 4.1183 approx 7.6183
E f'(6) :
f'(6) = 3 times 6^2 - 14.3 times 6 + 4.1183 = 108 - 85.8 + 4.1183 approx 26.3183
Como f'(5) > 0 e f'(6) > 0 , a derivada é positiva em todo o intervalo [5,6]. Isso significa que a função f(x) é crescente nesse intervalo e, portanto, só pode cruzar o eixo x uma vez.

Resposta

Portanto, o intervalo [5, 6] contém exatamente uma raiz positiva da função f(x) = x^3 - 7.15x^2 + 4.1183x + 23.4344 .

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