Determine os traços, esboce as superfícies e identifique-as:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os traços da superfície definida pela equação
. Além disso, vamos esboçar essa superfície e identificar que tipo de superfície ela é. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre quadricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os traços da superfície nos planos coordenados. Os traços são as interseções da superfície com os planos
,
e
. Isso nos ajuda a entender melhor a forma da superfície.
Passo 3
Vamos começar com o traço no plano
. Para isso, fixamos
na equação original:
Podemos simplificar dividindo os dois lados por 4:
Essa equação representa um círculo de raio 1 no plano
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o traço no plano
. Para isso, fixamos
:
Dividindo por 4:
Essa é a equação de uma hipérbole no plano
.
Passo 5
Por último, vamos encontrar o traço no plano
. Fixando
:
Dividindo por 4:
Essa também é a equação de uma hipérbole, agora no plano
.
Passo 6
Com os traços determinados, vamos esboçar a superfície. Sabemos que as interseções no plano
e
são hipérboles, enquanto no plano
é um círculo. Isso sugere que a superfície é um cone duplo ou uma hiperboloide. Observando os sinais na equação original
, vemos que temos termos positivos e negativos, o que indica que é uma hiperboloide de uma folha.
Passo 7
Para confirmar, podemos reescrever a equação na forma padrão dividindo ambos os lados por 4:
Isso confirma que a equação representa um hiperboloide de uma folha, já que temos a forma
.
Resposta
Os traços da superfície
são:
- No plano
: um círculo de raio 1. - No plano
: uma hipérbole. - No plano
: uma hipérbole.
A superfície é um hiperboloide de uma folha.