Determine os traços, esboce as superfícies e identifique-as:
4 x^2+4 y^2-z^2=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os traços da superfície definida pela equação 4x^2 + 4y^2 - z^2 = 4. Além disso, vamos esboçar essa superfície e identificar que tipo de superfície ela é. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre quadricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os traços da superfície nos planos coordenados. Os traços são as interseções da superfície com os planos xy, xz e yz. Isso nos ajuda a entender melhor a forma da superfície.

Passo 3

Vamos começar com o traço no plano xy. Para isso, fixamos z = 0 na equação original:
4x^2 + 4y^2 - (0)^2 = 4 Rightarrow 4x^2 + 4y^2 = 4
Podemos simplificar dividindo os dois lados por 4:
x^2 + y^2 = 1
Essa equação representa um círculo de raio 1 no plano xy.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o traço no plano xz. Para isso, fixamos y = 0:
4x^2 + 4(0)^2 - z^2 = 4 Rightarrow 4x^2 - z^2 = 4
Dividindo por 4:
x^2 - (z2)^2 = 1
Essa é a equação de uma hipérbole no plano xz.

Passo 5

Por último, vamos encontrar o traço no plano yz. Fixando x = 0:
4(0)^2 + 4y^2 - z^2 = 4 Rightarrow 4y^2 - z^2 = 4
Dividindo por 4:
y^2 - (z2)^2 = 1
Essa também é a equação de uma hipérbole, agora no plano yz.

Passo 6

Com os traços determinados, vamos esboçar a superfície. Sabemos que as interseções no plano xz e yz são hipérboles, enquanto no plano xy é um círculo. Isso sugere que a superfície é um cone duplo ou uma hiperboloide. Observando os sinais na equação original 4x^2 + 4y^2 - z^2 = 4, vemos que temos termos positivos e negativos, o que indica que é uma hiperboloide de uma folha.

Passo 7

Para confirmar, podemos reescrever a equação na forma padrão dividindo ambos os lados por 4:
x^2 + y^2 - z^24 = 1
Isso confirma que a equação representa um hiperboloide de uma folha, já que temos a forma x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1 .

Resposta

Os traços da superfície 4x^2 + 4y^2 - z^2 = 4 são:
  • No plano xy: um círculo de raio 1.
  • No plano xz: uma hipérbole.
  • No plano yz: uma hipérbole.
A superfície é um hiperboloide de uma folha.

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