Dada a função 
  através do tabelamento a seguir:
| x | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 
|---|---|---|---|---|---|
| 
 | 
4.91 | 6.18 | 6.53 | 7.12 | 7.5 | 
a) calcule 
 , usando o método dos trapézios e o método de Simpson, o valor aproximado da integral abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra os valores de 
  para alguns pontos entre 
  e 
 . O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral definida de 
  de 0 a 2, ou seja, 
 . Para isso, vamos usar dois métodos de aproximação numérica: o método dos trapézios e o método de Simpson. Esses métodos são úteis quando não conseguimos achar a integral de forma exata ou quando só temos os valores da função em alguns pontos.
Passo 2
Vamos começar com o método dos trapézios. Esse método aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios e somando as áreas deles. A fórmula geral para o método dos trapézios com 
  intervalos é:
onde 
  e 
 , 
 .
Passo 3
No nosso caso, o intervalo é de 0 a 2 (
 , 
 ) e temos 4 subintervalos (entre 0-0.5, 0.5-1, 1-1.5, 1.5-2), então 
 . Calculando 
 :
Agora, aplicando a fórmula do método dos trapézios com os valores da tabela:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos fazer as contas dentro do colchete:
Agora, multiplicando pela fração:
Passo 5
Então, usando o método dos trapézios, a aproximação da integral é aproximadamente 13.02.
Agora, vamos para o método de Simpson. Esse método também divide o intervalo em partes, mas usa uma combinação de áreas de trapézios e parábolas para uma aproximação melhor. A fórmula para o método de Simpson com 
  intervalos pares é:
Aqui, 
  é o mesmo que antes.
Passo 6
No nosso caso, novamente 
  (que é par, perfeito para Simpson), e 
 . Aplicando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos calcular o que está dentro do colchete:
Agora, multiplicando pela fração:
Resposta
Então, a aproximação da integral 
  é:
- Método dos Trapézios: aproximadamente 13.02
 - Método de Simpson: aproximadamente 13.11