Dada a função f(x)=rllx^2-7 & se & 0<x <= b 6x & se & x>b,
b) f é derivável no ponto x=b encontrado no item anterior?

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)= x^2-7, &0<x<= b, dfrac6x, &x>b,
e, do item anterior, obteve-se b=3 garantindo continuidade em x=3. Para que f seja derivável em x=3, é preciso que os limites das taxas de variação laterais coincidam:
limxto3^-f(x)-f(3)x-3 ;=; limxto3^+f(x)-f(3)x-3

Passo 2

Para x<3 temos f(x)=x^2-7. Aplicando a regra de derivação de polinômio,
f'-(3)=limxto3^-(x^2-7)-l(3^2-7r)x-3 =limxto3^-x^2-9x-3 =limxto3^-(x+3) =6

Passo 3

Para x>3 temos f(x)=6/x. Usando a regra de derivação de x^-1,
f'+(3)=-6cdot3^-2=-69=-23

Passo 4

Como
f'-(3)=6 e f'+(3)=-tfrac23,
os limites laterais não coincidem. Logo f não é derivável em x=3.

Resposta

Não, f não é derivável em x=b, pois
,f'-(b)=6neq -tfrac23=f'+(b).

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