Nos exercícios de 1 a 19, calcular as integrais curvilíneas.
integral x y^2(1-2 x^2) d s, onde C é a parte da curva de Gauss, y=e^-x^2, de A(0,1) até B(1raiz2, 1raize),

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integralC x,y^2,l(1-2x^2r),ds
onde C é a parte da curva de Gauss y=e^-x^2 de A(0,1) até Bl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz er).
Conteúdo: integrais de linha de uma função escalar f(x,y) ao longo de C.
Vamos parametrizar C por x e notar que, ao longo da curva, há uma relação exata que faz o fator diferencial ds “cair” e gerar uma integral simples em dx.

Passo 2

Parametrização:
r(x) = l(x,;e^-x^2r), 0<= x<= tfrac1raiz2
Calculamos primeiro
y = e^-x^2, dydx = -2x,e^-x^2 = -2x,y
Então
ds = raiz1+l(y'(x)r)^2,dx = raiz1 + 4x^2,y^2;dx

Passo 3

Observe agora a combinação
dl(x,yr) = y,dx + x,dy = y,dx + x(-2x,y),dx = yl(1 - 2x^2r),dx
Multiplicando ambos os lados por y, obtemos
y,dl(x,yr) = y^2l(1 - 2x^2r),dx
Logo
x,y^2l(1 - 2x^2r),dx = x,l[y,d(xy)r] = l(x,yr),dl(x,yr)

Passo 4

A integral original, ao longo de C, fica então
integral0^1/raiz2 x,y^2l(1 - 2x^2r),ds ;longrightarrow; integral0^1/raiz2 l(x,yr),dl(x,yr),
pois o “ ds” reduz-se a “ dx” junto com o fator escolhido. Agora definimos
u = x,y = x,e^-x^2,
então du = l[y(1-2x^2)r],dx e a integral vira
integralx=0^x=1/raiz2 u,du

Passo 5

Integramos facilmente em u:
integralu(0)^u(1/raiz2) u,du = u^22,|u(0)^u(1/raiz2) = 12l[ul(1/raiz2r)^2 - u(0)^2r]
Aqui u(0)=0 e
ul(tfrac1raiz2r) = tfrac1raiz2,e^-tfrac12 = 1raiz2e
Portanto
integral u,du = 12l(1raiz2er)^2 = 12,12e = 14e

Resposta

boxed14e

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