A Equação da Onda em uma dimensão espacial é dada pela expressão
ut t-c^2 ux x=0,
onde a solução u(x, t) é uma função da posição x e do tempo t. Verifique se as seguintes funções são soluções da Equação da Onda:
z=raizx-c t+e^x e^c t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função z(x,t)=raizx-ct+e^x e^ct satisfaz a equação da onda unidimensional utt-c^2uxx=0. O assunto é PDEs lineares e vamos precisar calcular derivadas parciais até segunda ordem de cada parcela de z.

Passo 2

Para u1(x,t)=raizx-ct calculamos as derivadas parciais:
u1x=tfrac12(x-ct)^-1/2, u1xx=-tfrac14(x-ct)^-3/2,
u1t=-tfracc2(x-ct)^-1/2, u1tt=-tfracc^24(x-ct)^-3/2
Então
u1tt-c^2u1xx=-tfracc^24(x-ct)^-3/2-c^2l(-tfrac14(x-ct)^-3/2r)=0,
logo u1 satisfaz a equação da onda.

Passo 3

Para u2(x,t)=e^x e^ct defina h(x,t)=x e^ct. Então
u2x=e^cte^h, u2xx=e^2cte^h,
u2t=cx e^cte^h, u2tt=c^2x(1+x e^ct)e^cte^h=c^2x e^ct+h+c^2x^2e^2ct+h
Logo
u2tt-c^2u2xx=c^2x e^ct+h+c^2x^2e^2ct+h-c^2e^2ct+h =c^2x e^ct+h+c^2(x^2-1)e^2ct+h,
que em geral não é zero. Portanto u2 não é solução.

Passo 4

Como a equação da onda é linear e homogênea, a soma de soluções é solução, mas como u2 não satisfaz utt-c^2uxx=0, a soma u1+u2 também não satisfaz.

Passo 5

Concluímos que z(x,t)=raizx-ct+e^x e^ct não é solução da equação da onda.

Resposta

z(x,t)=\sqrt{x-ct}+e^{x e^{ct}} não satisfaz a equação da onda.

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