Dada a função
f(x)= \begin{cases}e^{3 x}, & \text { se } x \geq 0 \\\\ 5 x+1 . & \text { se } x<0\end{cases}
Verifique que f é bijetora e encontre sua inversa f^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} e^{3x},& x\ge0,\\\\ 5x+1,& x<0, \end{cases}
e pede para show que f é bijetora e achar f^{-1}. Vamos usar monotonicidade e análise de limites para provar bijetividade, depois inverter cada ramo resolvendo y=f(x).

Passo 2

Provar injetividade e sobrejetividade (logo bijetividade):
– Para x<0, f(x)=5x+1 é reta de coeficiente angular 5>0, ou seja, estritamente crescente nesse ramo.
– Para x>0, f(x)=e^{3x} tem derivada 3e^{3x}>0, logo também é estritamente crescente.
– Em x=0 os dois ramos se encontram continuamente: \lim_{x\to0^-}(5x+1)=1 e f(0)=e^0=1. Assim, no conjunto todo \mathbb R f é estritamente crescente, portanto injetora.
Agora os limites em infinito mostram que a imagem é \mathbb R: \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(5x+1)=-\infty e \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}e^{3x}=+\infty. Como f é contínua e estritamente crescente, ela atinge todos os valores reais, logo é sobrejetora.

Passo 3

Para achar f^{-1}, escrevemos y=f(x) e resolvemos em cada ramo:
– Se x<0, então y=5x+1. Isolando x:
x=\frac{y-1}{5}.
Este valor é válido desde que y<1, pois em x\to0^- obtemos y\to1^-.
– Se x\ge0, então y=e^{3x}. Tomando logaritmo natural:
x=\frac{1}{3}\ln(y).
Aqui vale y\ge1, pois em x=0 temos y=1 e para x>0, y>1.

Resposta

f^{-1}(y)= \begin{cases} \dfrac{y-1}{5},&y<1,\\\ \dfrac{1}{3}\ln(y),&y\ge1. \end{cases}

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