Sejam f(x)=\frac{1}{x^{2}} e g(x)=\sqrt{x+1}. Encontre e determine o domínio das funções:
g \circ f

Passo 1

O enunciado dá as funções f(x)=\frac{1}{x^{2}} e g(x)=\sqrt{x+1}
e pede a composição g\circ f e o seu domínio.
O conteúdo necessário é a definição de função composta e o estudo de domínio.

Passo 2

Para calcular (g\circ f)(x), substituímos f(x) dentro de g:
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr) =\sqrt{\,f(x)+1\,} =\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}.
Podemos também escrever
\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1} =\sqrt{\frac{1+x^{2}}{x^{2}}} =\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{|x|}.

Passo 3

Agora vemos o domínio, impondo duas condições:
  1. x deve estar no domínio de f, ou seja x\neq0.
  2. O valor f(x)=1/x^{2} deve estar no domínio de g, isto é
    f(x)+1\ge0. Como 1/x^{2}>0 para todo x\neq0,
    temos 1/x^{2}+1>1>0 sempre satisfeito.
Portanto, a única restrição é x\neq0.

Resposta

(g\circ f)(x)=\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}=\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{|x|}
Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}, isto é (-\infty,0)\cup(0,\infty).

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