Dada a função f(x, y, z)=x^3 cdot z cdot(sen z y)+cos (x+3 z) cdot e^x y, calcule: partial f(x, y, z)partial x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada parcial da função f(x, y, z) = x^3 cdot z cdot sin(z y) + cos(x + 3 z) cdot e^x y em relação a x . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função f(x, y, z) . Ela tem duas partes:
  1. x^3 cdot z cdot sin(z y)
  2. cos(x + 3 z) cdot e^x y
Vamos derivar cada parte separadamente em relação a x .

Passo 3

Começando com a primeira parte: x^3 cdot z cdot sin(z y) .
Aqui, z e sin(z y) são considerados constantes em relação a x , então a derivada de x^3 em relação a x é 3x^2 . Assim, a derivada dessa parte fica:
partialpartial x ( x^3 cdot z cdot sin(z y) ) = 3x^2 cdot z cdot sin(z y)

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: cos(x + 3 z) cdot e^x y .
Aqui, temos um produto de duas funções que dependem de x . Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v' .
Primeiro, derivamos cos(x + 3 z) em relação a x . Usando a regra da cadeia:
ddx cos(x + 3 z) = -sin(x + 3 z) cdot ddx(x + 3 z) = -sin(x + 3 z) cdot 1 = -sin(x + 3 z)
Depois, derivamos e^x y em relação a x :
ddx e^x y = e^x y cdot y
Aplicando a regra do produto:
partialpartial x ( cos(x + 3 z) cdot e^x y ) = -sin(x + 3 z) cdot e^x y + cos(x + 3 z) cdot e^x y cdot y

Passo 5

Agora, juntando as derivadas das duas partes, a derivada parcial de f(x, y, z) em relação a x é:
partial fpartial x = 3x^2 cdot z cdot sin(z y) - sin(x + 3 z) cdot e^x y + y cdot cos(x + 3 z) cdot e^x y

Resposta

A derivada parcial de f(x, y, z) em relação a x é:
partial fpartial x = 3x^2 z sin(z y) - sin(x + 3 z) e^x y + y cos(x + 3 z) e^x y

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