Verdadeiro ou falso, justifique:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação “Se
, então
” é verdadeira para todo
. O conteúdo envolve comparação de potências e análise de sinais, então vamos estudar o sinal de
e comparar
com
em diferentes intervalos.
Passo 2
Considere o caso
. Como
e
, temos também
Multiplicando essa desigualdade por
, obtemos
logo nesse intervalo a afirmação vale.
Passo 3
Agora examine
. Note que
Se
, então
, isto é,
e não
.
Se , então
e
, logo
Se
Se
, então
e
, logo
Em particular, no subintervalo
e em
a implicação falha.
Passo 4
Basta um contraexemplo: para
temos
mas
não é menor que
. Portanto a afirmação não vale para todo
.
Resposta
Falso.