Verdadeiro ou falso, justifique:
Se x<1, então x^3<x.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação “Se x<1, então x^3<x” é verdadeira para todo xinR. O conteúdo envolve comparação de potências e análise de sinais, então vamos estudar o sinal de x e comparar x^3 com x em diferentes intervalos.

Passo 2

Considere o caso 0<x<1. Como x>0 e x<1, temos também
0<x^2<1
Multiplicando essa desigualdade por x>0, obtemos
0<x^3<x,
logo nesse intervalo a afirmação vale.

Passo 3

Agora examine x<=0. Note que
x^3-x = x,(x^2-1)
Se x=0, então x^3-x=0, isto é, x^3=x e não x^3<x.
Se -1<x<0, então x<0 e x^2-1<0, logo
x^3-x = x,(x^2-1)>0 Longrightarrow x^3>x
Se x<=-1, então x<0 e x^2-1>=0, logo
x^3-x = x,(x^2-1)<=0 Longrightarrow x^3<= x
Em particular, no subintervalo -1<x<0 e em x=0 a implicação falha.

Passo 4

Basta um contraexemplo: para x=0 temos x<1 mas x^3=0 não é menor que 0. Portanto a afirmação não vale para todo x<1.

Resposta

Falso.

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