Em quais pontos (x, y) do plano a função f(x, y)=c2 x yx^2+y^2,(x, y) neq(0,0) 0, (x, y)=(0,0) é contínua? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função [f(x, y)) definida assim:
Nossa missão é descobrir em quais pontos ((x, y)] essa função é contínua. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções de duas variáveis, que basicamente diz que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar onde a função está bem definida. Para (x, y) neq (0,0), o denominador x^2 + y^2 não é zero, então a função 2xyx^2+y^2 está bem definida e, por ser uma função racional, ela é contínua em todos esses pontos.

Passo 3

Agora, o ponto crítico é (0,0). Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) e ver se esse limite é igual a f(0,0) = 0.

Passo 4

Vamos calcular o limite seguindo diferentes caminhos para ver se o resultado muda:
  • Caminho 1: y = kx (reta que passa pela origem):
limx to 0 f(x, kx) = limx to 0 2x(kx)x^2 + (kx)^2 = limx to 0 2k x^2x^2(1 + k^2) = 2k1 + k^2
  • Caminho 2: y = 0 (eixo x):
limx to 0 f(x, 0) = limx to 0 2x cdot 0x^2 + 0 = 0
Observamos que dependendo do valor de k, o limite pode variar. Por exemplo, se k = 1, o limite é 1; se k = 0, o limite é 0. Isso mostra que o limite depende do caminho pelo qual (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 5

Como o limite não é único (depende do caminho), podemos concluir que o limite de f(x, y) quando (x, y) to (0,0) não existe. Portanto, f(x, y) não é contínua no ponto (0,0).

Resposta

A função f(x, y) é contínua em todos os pontos do plano, exceto no ponto (0,0).

Exercícios relacionados