Dada a função f(x, y)= x y(x^2-y^2)x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Calcule fx(1,1) e fy(1,1).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx,y,(x^2-y^2)x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais ,fx(1,1) e ,fy(1,1). Como (1,1) não é a origem, podemos aplicar normalmente as regras de diferenciação (regra do quociente).

Passo 2

Para facilitar, escrevemos
N(x,y)=x,y,(x^2-y^2), D(x,y)=x^2+y^2,
de modo que
f(x,y)=N(x,y)D(x,y)

Passo 3

Pela regra do quociente,
fx =partialx Ncdot D - Ncdot partialx DD^2
Calculamos
partialx N =partialxl(x,y,(x^2-y^2)r) =y,(x^2-y^2)+x,ycdot2x =3x^2y - y^3,
partialx D =partialx(x^2+y^2)=2x

Passo 4

Em (1,1) temos
N(1,1)=1cdot1,(1-1)=0, D(1,1)=1+1=2, partialx N(1,1)=3cdot1^2cdot1-1^3=2, partialx D(1,1)=2
Logo
fx(1,1) =2cdot2 - 0cdot22^2 =44 =1

Passo 5

Analogamente, pela regra do quociente
fy =partialy Ncdot D - Ncdot partialy DD^2
Calculamos
partialy N =partialyl(x,y,(x^2-y^2)r) =x,(x^2-y^2)+x,ycdot(-2y) =x^3-3x,y^2,
partialy D =partialy(x^2+y^2)=2y

Passo 6

Em (1,1) temos
partialy N(1,1)=1^3-3cdot1cdot1^2=-2, partialy D(1,1)=2, N(1,1)=0, D(1,1)=2
Logo
fy(1,1) =-2cdot2 - 0cdot22^2 =-44 =-1

Resposta

fx(1,1)=1
fy(1,1)=-1

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