Dada a função f(x, y)=ll5 x yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0), determine partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y), forall(x, y) in Dom(f).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= 5,x,yx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y em todo o domínio. Vamos usar a regra do quociente para (x,y)neq(0,0) e a definição de derivada parcial no ponto (0,0).]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) definimos
u(x,y)=5,x,y, v(x,y)=x^2+y^2,
de modo que f=u/v. Pela regra do quociente:
partial fpartial x =ux,v - u,vxv^2, partial fpartial y =uy,v - u,vyv^2
Como ux=5y, vx=2x, uy=5x e vy=2y, temos
partial fpartial x =5y,(x^2+y^2)-5xycdot2x(x^2+y^2)^2 =5y,(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2,
partial fpartial y =5x,(x^2+y^2)-5xycdot2y(x^2+y^2)^2 =5x,(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 3

No ponto (0,0) usamos a definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k=0

Resposta

Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x(x,y) =5,y,(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) =5,x,(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2
No ponto (0,0):
partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0

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