Determine as derivadas parciais da função.
t(x, y, z)=e^-2 y sen(x y z).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
t(x,y,z)=e^-2ysin(xyz),
e pede as derivadas parciais partial tpartial x, partial tpartial y e partial tpartial z. Para isso vamos usar a regra do produto (pois t é produto de e^-2y e sin(xyz)) e a regra da cadeia (para a composição sin(xyz)).

Passo 2

Para partial tpartial x tratamos y,z como constantes. O fator e^-2y independe de x, então
partial tpartial x = e^-2y,ddxl[sin(xyz)r] = e^-2ycos(xyz),ddx(xyz) = e^-2ycos(xyz),(yz)

Passo 3

Para partial tpartial y aplicamos produto e cadeia.
partial tpartial y =ddyl[e^-2yr]sin(xyz) +e^-2y,ddyl[sin(xyz)r]
Calculando cada peça:
ddyl[e^-2yr]=-2e^-2y, ddyl[sin(xyz)r]=cos(xyz),ddy(xyz)=cos(xyz),(xz)
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partial tpartial y =-2e^-2ysin(xyz)+e^-2ycos(xyz),(xz)

Passo 4

Para partial tpartial z tratamos y,x como constantes. Novamente e^-2y é constante e usamos só a cadeia em sin(xyz):
partial tpartial z = e^-2y,ddzl[sin(xyz)r] = e^-2ycos(xyz),ddz(xyz) = e^-2ycos(xyz),(xy)

Resposta

partial tpartial x=e^-2y,(yz)cos(xyz),
partial tpartial y=-2e^-2ysin(xyz)+e^-2y,(xz)cos(xyz),
partial tpartial z=e^-2y,(xy)cos(xyz)

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