Dada a função f(x, y)= x^3-y^2x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Determine partial fpartial x(0,1) e partial fpartial y(0,1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= dfracx^3-y^2x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,& (x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais de f no ponto (0,1). Como (0,1)neq(0,0), podemos usar a expressão racional
f(x,y)=x^3-y^2x^2+y^2
e aplicar o quociente de derivadas parciais.

Passo 2

Defina o numerador A(x,y)=x^3-y^2 e o denominador B(x,y)=x^2+y^2. Para a derivada parcial em x usamos
partial fpartial x =partial Apartial x,B - A,partial Bpartial xB^2
Calculamos
partial Apartial x=3x^2, partial Bpartial x=2x
Logo,
partial fpartial x =3x^2(x^2+y^2)-(x^3-y^2)cdot2x(x^2+y^2)^2

Passo 3

Avalie partial fpartial x em (0,1). Substituindo x=0 e y=1 no numerador:
3cdot0^2,(0^2+1^2) - (0^3-1^2)cdot2cdot0 =0 -(-1)cdot0 =0
Como o denominador (0^2+1^2)^2=1, temos
partial fpartial x(0,1)=0

Passo 4

Para a derivada parcial em y usamos
partial fpartial y =partial Apartial y,B - A,partial Bpartial yB^2,
com
partial Apartial y=-2y, partial Bpartial y=2y
Assim,
partial fpartial y =-2y,(x^2+y^2)-(x^3-y^2)cdot2y(x^2+y^2)^2

Passo 5

Avalie partial fpartial y em (0,1). No numerador:
-2cdot1,(0^2+1^2) - (0^3-1^2)cdot2cdot1 =-2 -(-1)cdot2 =-2 +2 =0
O denominador continua 1, logo
partial fpartial y(0,1)=0

Resposta

partial fpartial x(0,1)=0
partial fpartial y(0,1)=0

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