Explique se a função é diferenciável ou não no ponto dado.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para verificar se
é diferenciável no ponto
. O conteúdo é diferenciabilidade de funções de várias variáveis, que podemos checar usando o Teorema da Função Composta ou examinando existência e continuidade das derivadas parciais.
Passo 2
Considere
Sabemos que
é
em
com
e que
é linear (logo
). Pela regra da cadeia,
Isso mostra que as derivadas parciais de
existem em todo
.
Passo 3
Repare que o denominador
nunca se anula, então cada componente de
é uma função contínua de
. Em particular há um entorno de
onde as derivadas parciais são contínuas, e pelo critério clássico de diferenciabilidade isso garante que
é diferenciável em
.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
.