Explique se a função é diferenciável ou não no ponto dado.
f(x, y)=arctg(x+2 y),(1,0)

Passo 1

O enunciado fornece a função
f:R^2toR, f(x,y)=arctg(x+2y)
e pede para verificar se f é diferenciável no ponto (1,0). O conteúdo é diferenciabilidade de funções de várias variáveis, que podemos checar usando o Teorema da Função Composta ou examinando existência e continuidade das derivadas parciais.

Passo 2

Considere
g(u)=arctg(u), h(x,y)=x+2y
Sabemos que g é C^infty em R com
g'(u)=11+u^2,
e que h é linear (logo C^infty). Pela regra da cadeia,
nabla f(x,y) = g'(h(x,y)),nabla h(x,y) = 11+(x+2y)^2,(1,2)
Isso mostra que as derivadas parciais de f existem em todo R^2.

Passo 3

Repare que o denominador 1+(x+2y)^2 nunca se anula, então cada componente de nabla f(x,y) é uma função contínua de (x,y). Em particular há um entorno de (1,0) onde as derivadas parciais são contínuas, e pelo critério clássico de diferenciabilidade isso garante que f é diferenciável em (1,0).

Resposta

A função f(x,y)=arctg(x+2y) é diferenciável no ponto (1,0).

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