Dada a função
f(x, y)=ccc a x+b yc x+d y, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)
onde a, b, c e d são os últimos quatro dígitos que formam sua matrícula. Por exemplo, se seu número de matrícula for 20251234567 , teríamos a=4, b=5, c=6 e d=7.
(a) ( 0.50 p) Determine o domínio de f. Faça um esboço do domínio. Calcule f(-2,-3).
(b) (0.50p) Calcule lim (x, y) (0,0) f(x, y).
© ( 0.25 p) f é contínua em (0,0) ? Explique o motivo da sua resposta.
(d) (0.50 p) Calcule partial fpartial y e partial fpartial y, para (x, y) neq(0,0).
(e) (0.50p) Calcule partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial y^2, partial^2 fpartial x partial y e partial^2 fpartial y partial x para (x, y) neq(0,0).
(f) (0.50p) Se x=e^t e y=3 t+1, calcule d fd t.
(g) (0.25p) Calcule d f(0)d t.
(h) (0.50p) Se x=e^t e y=3 s+1, calcule partial fpartial t e partial fpartial s.
(i) (0.25p) Calcule partial f(0,0)partial t e partial f(0,0)partial s.

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício. Precisamos determinar o domínio da função $ f(x, y) $ dada, fazer um esboço desse domínio e calcular $ f(-2, -3) $. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre domínio de funções de duas variáveis e avaliação de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função $ f(x, y) $. A função é definida por:
f(x, y)
Para evitar divisões por zero, devemos garantir que o denominador $ c x + d y $ não seja igual a zero quando $ (x, y) \neq (0,0) $.

Passo 3

Assumindo que os últimos quatro dígitos da sua matrícula são $ a = 4 $, $ b = 5 $, $ c = 6 $ e $ d = 7 $ (como no exemplo do enunciado), a função fica:
a = 4
Então, o denominador $ 6x + 7y \neq 0 $. A equação $ 6x + 7y = 0 $ representa uma reta no plano $ xy $ que não pertence ao domínio da função.

Passo 4

Portanto, o domínio de $ f $ é todo o plano $ \mathbb{R}^2 $ menos os pontos que satisfazem $ 6x + 7y = 0 $. Em termos matemáticos:
f í

Passo 5

Agora, vamos calcular $ f(-2, -3) $. Substituindo $ x = -2 $ e $ y = -3 $ na função:
f(-2, -3)

Resposta

O domínio de $ f $ é todo o plano $ \mathbb{R}^2 $ excluindo os pontos onde $ 6x + 7y = 0 $. Além disso, $ f(-2, -3) = \frac{23}{33} $.

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