Nos exercícios 11-16, resolva a integral iterada.
integral-1^1 integral-2^2(x^2-y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla aqui:
integral-1^1 integral-2^2(x^2-y^2) , dy , dx
O que isso quer dizer é que vamos integrar a função x^2 - y^2 primeiro em relação a y e depois em relação a x. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais simples e entender como trabalhar com integrais iteradas, que são basicamente integrais dentro de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a y. Isso significa que vamos tratar x como uma constante. A gente tem:
integral-2^2 (x^2 - y^2) , dy
Para integrar essa função, vamos separar os termos:
integral-2^2 x^2 , dy - integral-2^2 y^2 , dy

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte:
  1. Integral de x^2 em relação a y:
Como x^2 é uma constante em relação a y, a integral fica:
x^2 integral-2^2 dy = x^2 cdot (y) |-2^2 = x^2 cdot (2 - (-2)) = x^2 cdot 4 = 4x^2
  1. Integral de y^2 em relação a y:
A integral de y^2 é:
integral y^2 , dy = y^33 |-2^2 = (2)^33 - (-2)^33 = 83 - (-83) = 163

Passo 4

Agora, vamos juntar essas duas partes:
4x^2 - 163
Esse resultado é o que obtemos após integrar a função x^2 - y^2 em relação a y.

Passo 5

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a x de -1 a 1:
integral-1^1 (4x^2 - 163) , dx
Vamos fazer isso separando novamente:
4 integral-1^1 x^2 , dx - 163 integral-1^1 dx

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  1. Integral de x^2 em relação a x:
integral x^2 , dx = x^33 |-1^1 = 13 - (-13) = 23
Multiplicando por 4:
4 cdot 23 = 83
  1. Integral de 1 em relação a x:
integral dx = x |-1^1 = 1 - (-1) = 2
Multiplicando por -163:
-163 cdot 2 = -323

Passo 7

Agora, juntamos as duas partes:
83 - 323 = -243 = -8

Resposta

O valor da integral dupla é -8.

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