Exercício 15: Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado por B=(x, y) in R^2 mid x^3 <= y <= raizx.
Dica: Encontre a variação para x e lembre-se da definição de área para integrais duplas. A resposta é 5 / 12.

Passo 1

O enunciado pede a área do conjunto
B = (x,y)inR^2 mid x^3 <= y <= raizx
ou seja, usar integral dupla para calcular a área de uma região limitada pelas curvas y=x^3 e y=raizx. Para isso, precisamos determinar o intervalo de x em que essas curvas se cruzam e depois aplicar a definição de área via integrais iteradas:
Área(B) = integral duplaB dA = integralxmin^xmaxl(fsup(x)-finf(x)r),dx Á

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo
x^3 <= raizx
Primeiro note que raizx exige x>=0. Para x>=0, façamos
x^3 <= x^1/2 Long<=ftrightarrow x^3 - tfrac12 = x^5/2 <= 1 Long<=ftrightarrow x <= 1
Logo o domínio em x é
0 <= x <= 1

Passo 3

Montar a integral de área usando que, para cada x em [0,1], a “altura” da região é
raizx-x^3. Assim
Área(B) = integral0^1 l(raizx - x^3r),dx = integral0^1 l(x^1/2 - x^3r),dx Á

Passo 4

Calcular a integral:
integral0^1 x^1/2,dx = [23x^3/2]0^1 = 23,
integral0^1 x^3,dx = [14x^4]0^1 = 14
Portanto
Área(B) = 23 - 14 = 812 - 312 = 512 Á

Resposta

512

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