1. Dada a função custo C(x)=-10 x^{2}+9 x+10. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para x=62
R: C^{\prime}(x)=9-20 x
C^{\prime}(62)=-1231

Passo 1

O enunciado dá a função custo C(x)=-10 x^{2}+9 x+10. As perguntas são:
  • Encontrar a função de custo marginal (ou seja, C'(x)).
  • Calcular o valor do custo marginal para x=62, isto é C'(62).
O que é “custo marginal” aqui? O custo marginal é a derivada da função custo em relação à quantidade produzida x. Em termos simples, C'(x) fornece a taxa de variação instantânea do custo quando se produz uma unidade a mais — uma boa aproximação do custo adicional (ou redução) ao aumentar x ligeiramente.

Passo 2

Relembrando as regras básicas de derivação que vamos usar:
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Derivada de constante: se k é constante, então \dfrac{d}{dx}k=0.
  • Derivada do termo linear: \dfrac{d}{dx}\bigl(a x\bigr)=a, onde a é constante.
  • Regra do poder (power rule): \dfrac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n x^{n-1}, onde a e n são constantes.
Aqui, as variáveis e constantes são:
  • x é a quantidade produzida.
  • Coeficientes -10, 9 e constante 10 são números fixos.

Passo 3

Aplicando as regras termo a termo à função C(x)=-10 x^{2}+9 x+10:
  • Para -10 x^{2}: usar a regra do poder com a=-10 e n=2. Logo \dfrac{d}{dx}(-10 x^{2})=-10\cdot 2 x^{1}=-20 x.
  • Para 9 x: é termo linear com a=9. Logo \dfrac{d}{dx}(9 x)=9.
  • Para 10: é constante. Logo \dfrac{d}{dx}(10)=0.
Somando as derivadas (regra da soma), obtemos
C'(x) = -20 x + 9.
Ou, reescrevendo na ordem mais comum,
C'(x)=9-20 x.

Passo 4

Agora calcular C'(62). Primeiro escrevemos a expressão:
C'(62)=9-20\cdot 62.
Calculemos passo a passo:
20\cdot 62 = 1240,
9-1240 = -1231.
Portanto C'(62) = -1231.

Passo 5

Interpretação rápida e motivadora: o valor C'(62)=-1231 significa que, segundo o modelo matemático dado, ao aumentar a produção a partir de 62 unidades por uma quantidade muito pequena, o custo total varia no sentido de diminuir aproximadamente 1231 (unidades monetárias) por unidade adicional — ou seja, marginalmente o custo está decrescendo ali. Pode parecer estranho economicamente, mas é o que a função quadrática fornece neste intervalo. Se estiver se preparando pra prova, memorize: derive termo a termo com power rule e avalie substituindo o x.

Resposta

C'(x)=9-20 x
C'(62)=-1231

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