- Dada a função custo
. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para
R:
Passo 1
O enunciado dá a função custo
. As perguntas são:
- Encontrar a função de custo marginal (ou seja,
). - Calcular o valor do custo marginal para
, isto é .
O que é “custo marginal” aqui? O custo marginal é a derivada da função custo em relação à quantidade produzida
. Em termos simples,
fornece a taxa de variação instantânea do custo quando se produz uma unidade a mais — uma boa aproximação do custo adicional (ou redução) ao aumentar
ligeiramente.
Passo 2
Relembrando as regras básicas de derivação que vamos usar:
- Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Derivada de constante: se
é constante, então . - Derivada do termo linear:
, onde é constante. - Regra do poder (power rule):
, onde e são constantes.
Aqui, as variáveis e constantes são:
-
é a quantidade produzida. - Coeficientes
, e constante são números fixos.
Passo 3
Aplicando as regras termo a termo à função
:
- Para
: usar a regra do poder com e . Logo . - Para
: é termo linear com . Logo . - Para
: é constante. Logo .
Somando as derivadas (regra da soma), obtemos
Ou, reescrevendo na ordem mais comum,
Passo 4
Agora calcular
. Primeiro escrevemos a expressão:
Calculemos passo a passo:
Portanto
.
Passo 5
Interpretação rápida e motivadora: o valor
significa que, segundo o modelo matemático dado, ao aumentar a produção a partir de
unidades por uma quantidade muito pequena, o custo total varia no sentido de diminuir aproximadamente
(unidades monetárias) por unidade adicional — ou seja, marginalmente o custo está decrescendo ali. Pode parecer estranho economicamente, mas é o que a função quadrática fornece neste intervalo. Se estiver se preparando pra prova, memorize: derive termo a termo com power rule e avalie substituindo o
.