- Dada a função custo
. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para
Passo 1
O enunciado nos dá a função custo
e pede duas coisas:
- Encontrar a função de custo marginal (ou seja,
). - Calcular o custo marginal para
(ou seja, ).
Informações relevantes fornecidas:
- A função custo total é
. - Não há mais restrições;
representa a quantidade produzida (unidades).
Passo 2
O que é “custo marginal”? Vou explicar de forma concreta e simples:
- O custo marginal é a taxa de variação do custo total em relação à quantidade produzida. Em cálculo, isso é exatamente a derivada da função custo em relação a
. - Intuitivamente,
diz quanto o custo aumenta (aproximadamente) se a produção aumenta em uma unidade pequena. Por exemplo, se , produzir mais uma unidade custa cerca de unidades monetárias. - Matematicamente usamos a definição de derivada para formalizar isso.
Passo 3
Lembrete técnico (definição de derivada):
Aqui
é a derivada de
no ponto
. A expressão dentro do limite é a razão de variação média de
quando
muda para
; ao fazer
obtemos a taxa instantânea de variação.
Passo 4
Vamos aplicar a definição da derivada a
. Primeiro calculo
:
Agora a razão de variação média:
Tomando o limite
:
Portanto a derivada existe e é constante igual a
para todo
.
Passo 5
Interpretação e regra prática:
- Como
é uma função linear do tipo , a derivada é simplesmente o coeficiente . Aqui , então a regra rápida diz: a derivada de é . - Em linguagem econômica: o custo marginal é constante e vale
(unidades monetárias por unidade produzida). Isso significa que cada unidade adicional custa exatamente .
Passo 6
Calculemos
. Como
é constante igual a
, tem-se:
Para reforçar (check numérico):
e
. A diferença exata
confirma que o custo adicional ao passar de 30 para 31 unidades é
, igual ao custo marginal.