1. Dada a função custo C(x)=4 x+9. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para x=30
\begin{aligned} & \mathrm{R}: C^{\prime}(x)=4 \\\ & C^{\prime}(30)=4 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá a função custo C(x)=4x+9 e pede duas coisas:
  • Encontrar a função de custo marginal (ou seja, C'(x)).
  • Calcular o custo marginal para x=30 (ou seja, C'(30)).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função custo total é C(x)=4x+9.
  • Não há mais restrições; x representa a quantidade produzida (unidades).

Passo 2

O que é “custo marginal”? Vou explicar de forma concreta e simples:
  • O custo marginal é a taxa de variação do custo total em relação à quantidade produzida. Em cálculo, isso é exatamente a derivada da função custo em relação a x.
  • Intuitivamente, C'(x) diz quanto o custo aumenta (aproximadamente) se a produção aumenta em uma unidade pequena. Por exemplo, se C'(x)=4, produzir mais uma unidade custa cerca de 4 unidades monetárias.
  • Matematicamente usamos a definição de derivada para formalizar isso.

Passo 3

Lembrete técnico (definição de derivada):
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui f'(x) é a derivada de f no ponto x. A expressão dentro do limite é a razão de variação média de f quando x muda para x+h; ao fazer h\to0 obtemos a taxa instantânea de variação.

Passo 4

Vamos aplicar a definição da derivada a C(x)=4x+9. Primeiro calculo C(x+h)-C(x):
C(x+h)=4(x+h)+9=4x+4h+9,
C(x+h)-C(x)=(4x+4h+9)-(4x+9)=4h.
Agora a razão de variação média:
\frac{C(x+h)-C(x)}{h}=\frac{4h}{h}=4\qquad\text{(para }h\neq0\text{)}.
Tomando o limite h\to0:
C'(x)=\lim_{h\to0}4=4.
Portanto a derivada existe e é constante igual a 4 para todo x.

Passo 5

Interpretação e regra prática:
  • Como C(x) é uma função linear do tipo ax+b, a derivada é simplesmente o coeficiente a. Aqui a=4, então a regra rápida diz: a derivada de 4x+9 é 4.
  • Em linguagem econômica: o custo marginal é constante e vale 4 (unidades monetárias por unidade produzida). Isso significa que cada unidade adicional custa exatamente 4.

Passo 6

Calculemos C'(30). Como C'(x) é constante igual a 4, tem-se:
C'(30)=4.
Para reforçar (check numérico): C(30)=4\cdot30+9=129 e C(31)=4\cdot31+9=133. A diferença exata C(31)-C(30)=4 confirma que o custo adicional ao passar de 30 para 31 unidades é 4, igual ao custo marginal.

Resposta

C'(x)=4
C'(30)=4

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