- Dada a função custo
. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para
Passo 1
O enunciado dá a função custo
.
Pede-se:
Pede-se:
- Encontrar a função de custo marginal.
- Calcular o valor da função de custo marginal para
.
Passo 2
O que é “custo marginal” na prática (explicação curta e intuitiva): o custo marginal é a taxa instantânea de variação do custo em relação à quantidade produzida. Na matemática isso corresponde à derivada da função custo em relação a
. Ou seja, para obter a função de custo marginal basta calcular a derivada
.
Agora vamos aprender as regras que vamos usar para derivar termo a termo:
- Regra do polinômio / regra do poder (power rule): a derivada de
é . Por exemplo, a derivada de é . - Regra da constante multiplicativa: se há um coeficiente constante
, a derivada de é . Por exemplo, a derivada de é multiplicado pela derivada de , que é . - Regra da soma/diferença: a derivada da soma (ou diferença) de termos é a soma (ou diferença) das derivadas de cada termo.
- A derivada de uma constante (número sem
) é .
Aplicando essas regras termo a termo em
:
- Derivada de
: usar a regra do poder e da constante, resulta em . - Derivada de
: resulta em . - Derivada de
: aqui tem potência , então derivada é . - Derivada de
: é (constante).
Colocando tudo junto, a função de custo marginal é:
Passo 3
Agora vamos calcular o valor de
quando
. Substituir
em
:
Primeiro calcule
:
Calcule o termo
em
:
Fazendo a conta passo a passo:
. E
. Portanto
Calcule o termo
em
:
Agora some os termos e subtraia 5:
Primeiro
. Então
.
Logo
Passo 4
Interpretação prática e encorajamento:
significa que, no ponto
, o custo está aumentando a uma taxa de
(unidades monetárias por unidade produzida). Em termos simples: produzir mais uma unidade quando já se produz 12 unidades vai aumentar o custo em aproximadamente
. Você fez bem em pedir a conta passo a passo — essas multiplicações e substituições são exatamente o que cai na prova. Força, você consegue!