1. Dada a função custo C(x)=8 x^{3}+9 x^{2}-5 x-9. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para x=12
    \mathrm{R}: C^{\prime}(x)=24 x^{2}+18 x-5
    C^{\prime}(12)=3667

Passo 1

O enunciado dá a função custo C(x)=8x^{3}+9x^{2}-5x-9.
Pede-se:
  • Encontrar a função de custo marginal.
  • Calcular o valor da função de custo marginal para x=12.

Passo 2

O que é “custo marginal” na prática (explicação curta e intuitiva): o custo marginal é a taxa instantânea de variação do custo em relação à quantidade produzida. Na matemática isso corresponde à derivada da função custo em relação a x. Ou seja, para obter a função de custo marginal basta calcular a derivada C'(x).
Agora vamos aprender as regras que vamos usar para derivar termo a termo:
  • Regra do polinômio / regra do poder (power rule): a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,. Por exemplo, a derivada de \,x^{3}\, é \,3x^{2}\,.
  • Regra da constante multiplicativa: se há um coeficiente constante a, a derivada de a\cdot f(x) é a\cdot f'(x). Por exemplo, a derivada de 8x^{3} é 8 multiplicado pela derivada de x^{3}, que é 8\cdot 3x^{2}.
  • Regra da soma/diferença: a derivada da soma (ou diferença) de termos é a soma (ou diferença) das derivadas de cada termo.
  • A derivada de uma constante (número sem x) é 0.
Aplicando essas regras termo a termo em C(x)=8x^{3}+9x^{2}-5x-9:
  • Derivada de 8x^{3}: usar a regra do poder e da constante, resulta em 8\cdot 3x^{2}=24x^{2}.
  • Derivada de 9x^{2}: resulta em 9\cdot 2x=18x.
  • Derivada de -5x: aqui x tem potência 1, então derivada é -5\cdot 1 = -5.
  • Derivada de -9: é 0 (constante).
Colocando tudo junto, a função de custo marginal é:
C'(x)=24x^{2}+18x-5

Passo 3

Agora vamos calcular o valor de C'(x) quando x=12. Substituir x=12 em C'(x):
Primeiro calcule 12^{2}:
12^{2}=144.
Calcule o termo 24x^{2} em x=12:
24\cdot 144.
Fazendo a conta passo a passo: 24\cdot 144 = 24\cdot(100+44)=2400+24\cdot 44. E 24\cdot 44 = 24\cdot(40+4)=960+96=1056. Portanto
24\cdot 144 = 2400+1056=3456.
Calcule o termo 18x em x=12:
18\cdot 12 = 216.
Agora some os termos e subtraia 5:
3456 + 216 - 5.
Primeiro 3456+216=3672. Então 3672-5=3667.
Logo
C'(12)=3667.

Passo 4

Interpretação prática e encorajamento: C'(12)=3667 significa que, no ponto x=12, o custo está aumentando a uma taxa de 3667 (unidades monetárias por unidade produzida). Em termos simples: produzir mais uma unidade quando já se produz 12 unidades vai aumentar o custo em aproximadamente 3667. Você fez bem em pedir a conta passo a passo — essas multiplicações e substituições são exatamente o que cai na prova. Força, você consegue!

Resposta

C'(x)=24x^{2}+18x-5
C'(12)=3667

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