1. Dada a função custo C(x)=-7 x e a função receita R(x)=9-2 x. Encontre a função lucro marginal e calcule o lucro marginal para x=36
Resposta:
\begin{array}{r} L(x)=5 x+9 \\\ L^{\prime}(x)=5 \\\ L^{\prime}(36)=5 \end{array}

Passo 1

O enunciado nos dá as duas funções:
C(x)=-7x
R(x)=9-2x
O que é pedido:
  • Encontrar a função lucro marginal (ou seja, a derivada do lucro).
  • Calcular o valor do lucro marginal para x=36.

Passo 2

Definição importante (passo a passo): o lucro L(x) é a diferença entre a receita e o custo. Em fórmulas:
L(x)=R(x)-C(x)
Substituindo as funções dadas:
L(x)=(9-2x)-(-7x)
Agora faça as contas juntando termos semelhantes: -2x-(-7x)=-2x+7x=5x. Então
L(x)=9+5x
(ou escrito na forma habitual)
L(x)=5x+9.

Passo 3

O que é lucro marginal? Explicação didática: o lucro marginal é a taxa de variação instantânea do lucro quando se produz mais uma unidade — matematicamente, é a derivada de L(x) em relação a x. Se L'(x) é constante igual a k, isso significa que, para cada unidade adicional produzida, o lucro aumenta (ou diminui, se negativo) em k unidades monetárias.

Passo 4

Regra prática de derivação que vamos usar (sem complicar): para uma função linear da forma \,ax+b, a derivada em relação a x é simplesmente a. Em símbolos:
\frac{d}{dx}(ax+b)=a,
porque a derivada de ax é a e a derivada de uma constante b é 0.

Passo 5

Aplicando essa regra à nossa função L(x)=5x+9:
L'(x)=5.
Ou seja, o lucro marginal é uma constante igual a 5.

Passo 6

Agora avaliamos o lucro marginal em x=36. Como L'(x) é constante,
L'(36)=5.
Interpretação curta e motivadora: produzir mais uma unidade quando x=36 (ou em qualquer outro nível x) aumenta o lucro em 5 unidades monetárias. Isso é simples e útil na prova — quando a função for linear, a derivada é só o coeficiente angular. Você já ganhou uma técnica rápida pra aplicar!

Resposta

L(x)=5x+9
L'(x)=5
L'(36)=5

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