1. Dada a função custo C(x)=-9 x-5 e a função receita R(x)=8-6 x. Encontre a função lucro marginal e calcule o lucro marginal para x=59
Resposta:
\begin{gathered} L(x)=3 x+13 \\\ L^{\prime}(x)=3 \\\ L^{\prime}(59)=3 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado nos dá as funções:
C(x) = -9x - 5
R(x) = 8 - 6x
As perguntas são:
  • Encontrar a função lucro L(x).
  • Encontrar a função lucro marginal L'(x).
  • Calcular o valor do lucro marginal para x=59.

Passo 2

Definição e cálculo da função lucro. Por definição, o lucro é a receita menos o custo, ou seja:
L(x)=R(x)-C(x)
Substituindo as funções dadas:
L(x) = \bigl(8-6x\bigr) - \bigl(-9x-5\bigr)
Agora vamos simplificar passo a passo. Primeiro removendo parênteses e trocando o sinal do custo:
L(x)=8-6x +9x +5
Agrupando termos semelhantes (os termos com x e os termos constantes):
L(x)=(-6x+9x)+(8+5)
L(x)=3x+13

Passo 3

O que é lucro marginal e como derivar. O lucro marginal L'(x) é a derivada de L(x): representa a variação do lucro quando se produz mais uma unidade (taxa de variação instantânea do lucro em relação a x). Regras usadas:
  • A derivada de uma constante é zero.
  • A derivada de ax em relação a x é a.
    Aplicando essas regras a L(x)=3x+13:
L'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(13\bigr)=3+0=3

Passo 4

Cálculo do lucro marginal em x=59. Como L'(x) é constante igual a 3, para qualquer x temos:
L'(59)=3
Interpretação rápida: produzir mais uma unidade (por exemplo, passar de 59 para 60 unidades) aumenta o lucro em 3 (unidades monetárias). Para conferir com diferença finita:
L(60)-L(59) = \bigl(3\cdot60+13\bigr)-\bigl(3\cdot59+13\bigr)=180+13-(177+13)=3

Passo 5

Dica de prova e encorajamento: em problemas com funções lineares, é sempre rápido calcular o lucro subtraindo custo de receita, e a derivada de uma reta ax+b é só o coeficiente a. Confia: você já tem aqui a técnica que resolve esse tipo de questão em um minuto na prova. Força — consegue!

Resposta

L(x)=3x+13
L'(x)=3
L'(59)=3

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