Utilize as regras e resultados sobre derivação parcial e diferenciabilidade discutidos em sala para resolver as seguintes questões.
(2 pontos) Verifique que u(x, t)=\cos (x+c t)+e^{x+c t} é uma solução da equação da onda
u_{t t}=c^{2} u_{x x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
u(x,t)=\cos\bigl(x+c\,t\bigr)+e^{\,x+c\,t}
é solução da equação da onda
u_{tt}=c^{2}u_{xx}.
O conteúdo utilizado será derivação parcial de primeira e segunda ordem e o fato de que soma, composição de funções elementares (cosseno e exponencial) são diferenciáveis em todo \mathbb{R}^2.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais em relação a x. Derivando uma vez,
u_x(x,t) =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl[\cos(x+ct)\Bigr]+\frac{\partial}{\partial x}\Bigl[e^{\,x+ct}\Bigr] =-\sin(x+ct)+e^{\,x+ct}.
Derivando de novo em x,
u_{xx}(x,t) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[-\sin(x+ct)\bigr]+\frac{\partial}{\partial x}\bigl[e^{\,x+ct}\bigr] =-\cos(x+ct)+e^{\,x+ct}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais em relação a t. Derivando uma vez,
u_t(x,t) =\frac{\partial}{\partial t}\Bigl[\cos(x+ct)\Bigr]+\frac{\partial}{\partial t}\Bigl[e^{\,x+ct}\Bigr] =-c\,\sin(x+ct)+c\,e^{\,x+ct}.
Derivando de novo em t,
u_{tt}(x,t) =\frac{\partial}{\partial t}\bigl[-c\,\sin(x+ct)\bigr] +\frac{\partial}{\partial t}\bigl[c\,e^{\,x+ct}\bigr] =-c^{2}\cos(x+ct)+c^{2}e^{\,x+ct}.

Passo 4

Comparar u_{tt} com c^{2}u_{xx}. Usando o resultado de u_{xx},
c^{2}u_{xx}(x,t) =c^{2}\bigl[-\cos(x+ct)+e^{\,x+ct}\bigr] =-c^{2}\cos(x+ct)+c^{2}e^{\,x+ct},
que é exatamente
u_{tt}(x,t)=-c^{2}\cos(x+ct)+c^{2}e^{\,x+ct}.
Portanto u_{tt}=c^{2}u_{xx}.

Resposta

A função u(x,t)=\cos(x+ct)+e^{\,x+ct} satisfaz a equação da onda u_{tt}=c^{2}u_{xx}.

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