Dada a função f definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{c}A x+5, \text { se } x<-1 \\\ x^{2}+1, \text { se }-1 \leq x<2 \\\ B-2 x, \text { se } x \geq 2\end{array}\right.
Determine os valores de A e B para que f(x) seja continua nos pontos x=-1 e x=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases} A x + 5, & x < -1,\\\ x^2 + 1, & -1 \le x < 2,\\\ B - 2x, & x \ge 2. \end{cases}
Precisamos que f seja contínua em x=-1 e em x=2. Lembrando que f é contínua em x_0 se
\lim_{x\to x_0^-}f(x) =\lim_{x\to x_0^+}f(x) = f(x_0).

Passo 2

Para x=-1:
- Limite à esquerda:
\lim_{x\to -1^-}f(x) = A\cdot(-1) + 5 = -A + 5.
- Limite à direita (e valor de f(-1)):
\lim_{x\to -1^+}f(x) = (-1)^2 + 1 = 2, \quad f(-1)=2.
Igualando para continuidade:
-\,A + 5 = 2 \quad\Longrightarrow\quad A = 3.

Passo 3

Para x=2:
- Limite à esquerda (e valor de f(2^-)):
\lim_{x\to 2^-}f(x) = 2^2 + 1 = 5.
- Limite à direita (e valor de f(2)):
\lim_{x\to 2^+}f(x) = B - 2\cdot2 = B - 4, \quad f(2)=B - 4.
Igualando para continuidade:
B - 4 = 5 \quad\Longrightarrow\quad B = 9.

Resposta

A = 3 e B = 9.

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