Dada a função definida por f(x)=raiz1-x^2, mostre que f(f(x))=|x|.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=raiz1 - x^2,
cujo domínio natural é [-1,1] (para que a raiz esteja bem definida) e cuja imagem fica em [0,1]. Queremos calcular a composição f(f(x)) e mostrar que ela coincide com lvert xrvert. Para isso, usaremos substituição direta e a propriedade de que a raiz quadrada principal satisfaz raiza^2=|a|.

Passo 2

Começamos escrevendo a composição por substituição:
f(f(x)) ;=;raiz,1 - l(f(x)r)^2,
Como f(x)=raiz1-x^2, temos
l(f(x)r)^2 = l(raiz1 - x^2r)^2 = 1 - x^2

Passo 3

Substituindo esse resultado de volta em f(f(x)), obtém-se
f(f(x)) = raiz,1 - (1 - x^2), = raizx^2

Passo 4

Pela definição da raiz quadrada principal, para todo real x vale
raizx^2 = |x|
Logo concluímos
f(f(x)) = |x|, xin[-1,1]

Resposta

f(f(x)) = |x|

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