Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções dadas.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos a função
O conteúdo é domínio e imagem de uma função logarítmica. Para o domínio, precisamos garantir que o argumento do logaritmo seja positivo e que o denominador não seja zero. Para a imagem, vamos usar limites e continuidade.
Passo 2
Para que
esteja definida, é preciso ter
e também
, isto é,
.
Passo 3
Vamos achar os pontos em que o numerador e o denominador mudam de sinal:
O numerador anula-se em
.
O denominador anula-se em
.
Esses pontos particionam a reta em três intervalos: ,
e
.
O numerador
O denominador
Esses pontos particionam a reta em três intervalos:
Passo 4
Em cada intervalo, escolhemos um valor-teste para verificar o sinal de
:
- Para
, digamos : numerador negativo, denominador positivo, quociente negativo. - Para
, digamos : numerador positivo, denominador positivo, quociente positivo. - Para
, digamos : numerador positivo, denominador negativo, quociente negativo.
Logo, a condiçãosó vale em . Portanto, o domínio é
Passo 5
Para a imagem, note que em
o argumento
, então
. Em
o argumento
, logo
. Como a função é contínua em
, ela atinge todos os valores reais. Assim, a imagem é
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: