Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções dadas.
f f(x)=log 5(x+11-x)

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a função
f(x)=log5!l(x+11-xr)
O conteúdo é domínio e imagem de uma função logarítmica. Para o domínio, precisamos garantir que o argumento do logaritmo seja positivo e que o denominador não seja zero. Para a imagem, vamos usar limites e continuidade.

Passo 2

Para que f(x) esteja definida, é preciso ter
x+11-x>0
e também 1-xneq0, isto é, xneq1.

Passo 3

Vamos achar os pontos em que o numerador e o denominador mudam de sinal:
O numerador x+1 anula-se em x=-1.
O denominador 1-x anula-se em x=1.
Esses pontos particionam a reta em três intervalos: (-infty,-1), (-1,1) e (1,infty).

Passo 4

Em cada intervalo, escolhemos um valor-teste para verificar o sinal de x+11-x:
  • Para x<-1, digamos x=-2: numerador negativo, denominador positivo, quociente negativo.
  • Para -1<x<1, digamos x=0: numerador positivo, denominador positivo, quociente positivo.
  • Para x>1, digamos x=2: numerador positivo, denominador negativo, quociente negativo.
    Logo, a condição x+11-x>0 só vale em -1<x<1. Portanto, o domínio é
Dom(f)=(-1,1)

Passo 5

Para a imagem, note que em xto-1^+ o argumento tfracx+11-xto0^+, então log5to-infty. Em xto1^- o argumento to+infty, logo log5to+infty. Como a função é contínua em (-1,1), ela atinge todos os valores reais. Assim, a imagem é
Im(f)=R

Resposta

Domínio: (-1,1)
Imagem: R

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