Verifique se as seguintes séries são convergentes os divergentes. Justifique sua resposta
(Use o teste das séries alternadas)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série alternada
usando o teste de Leibniz (séries alternadas). Para isso, definimos
e precisamos checar:
-
para todo . -
é decrescente a partir de algum . -
.
Passo 2
Mostramos que
Passo 3
Para ver que
é eventualmente decrescente, considere a função contínua
Calculamos a derivada em forma de bloco para analisar o sinal:
Para
temos
, logo
e
.
Isto mostra que (e portanto
) é decrescente para
.
Isto mostra que
Passo 4
Como
,
e
é decrescente a partir de
, todos os requisitos do teste de Leibniz estão satisfeitos. Portanto a série alternada converge.
Resposta
A série
é convergente (condicionalmente).