(6,0) Verifique se as seguintes séries são convergentes os divergentes. Justifique sua resposta
sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4 (Use o teste das séries alternadas)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1n^2n^3+4
usando o teste de Leibniz (séries alternadas). Para isso, definimos
an = n^2n^3+4
e precisamos checar:
  1. an>0 para todo n.
  2. an é decrescente a partir de algum n.
  3. limntoinftyan=0.

Passo 2

Mostramos que
limntoinftyan =limntoinftyn^2n^3+4 =limntoinfty1n+tfrac4n^2 =0

Passo 3

Para ver que an é eventualmente decrescente, considere a função contínua
f(x)=x^2x^3+4, x>0
Calculamos a derivada em forma de bloco para analisar o sinal:
f'(x) =2x(x^3+4)-x^2cdot3x^2(x^3+4)^2 =2x^4+8x-3x^4(x^3+4)^2 =x,(8 - x^3)(x^3+4)^2
Para x>= 2 temos x^3>=8, logo 8-x^3<=0 e f'(x)<=0.
Isto mostra que f (e portanto an=f(n)) é decrescente para n>=2.

Passo 4

Como an>0, limntoinftyan=0 e an é decrescente a partir de n=2, todos os requisitos do teste de Leibniz estão satisfeitos. Portanto a série alternada converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+1n^2n^3+4 é convergente (condicionalmente).

Exercícios relacionados