Seja
f(x)=1+x1-x.
Mostre que:
a. f(11+x)=2+xx
b. f(f(x))=-1x

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=1+x1-x
e pede para calcular duas coisas por meio de substituição e álgebra:
  1. fl(tfrac11+xr)
  2. fl(f(x)r)

Passo 2

Para a parte (a), substituímos x por tfrac11+x:
fl(tfrac11+xr) = 1 + tfrac11+x1 - tfrac11+x
No numerador temos
1 + tfrac11+x = (1+x) + 11+x = 2+x1+x,
e no denominador
1 - tfrac11+x = (1+x) - 11+x = x1+x
Dividindo numerador por denominador,
fl(tfrac11+xr) = tfrac2+x1+xtfracx1+x = 2+xx

Passo 3

Para a parte (b), escrevemos t=f(x) e depois calculamos f(t).
Se
t = f(x) = 1+x1-x,
então
f(t) = 1 + t1 - t = 1 + 1+x1-x1 - 1+x1-x
No numerador:
1 + 1+x1-x = (1-x) + (1+x)1-x = 21-x,
no denominador:
1 - 1+x1-x = (1-x) - (1+x)1-x = -2x1-x
Logo,
f(f(x)) = tfrac21-xtfrac-2x1-x = 21-x;cdot;1-x-2x = -1x

Resposta

a. 2+xx
b. -1x

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