Determine a função f (inclusive o seu domínio) que satisfaça a propriedade
f(x)-3f(x)+3=x

Passo 1

O enunciado pede uma função f tal que
f(x)-3f(x)+3 = x,
além de determinar o domínio de f. Para isso, vamos resolver essa equação para isolar f(x) e depois verificar as condições que impedem divisões por zero.

Passo 2

Partimos de
f(x)-3f(x)+3 = x
Multiplicando ambos os lados por f(x)+3 (sabendo que f(x)+3neq0), obtemos
f(x)-3 = xl(f(x)+3r)

Passo 3

Expandindo o lado direito e recolhendo termos com f(x), temos
f(x)-3 = x,f(x) + 3x Longrightarrow f(x) - x,f(x) = 3 + 3x

Passo 4

Fatorando f(x) no lado esquerdo:
f(x)l(1 - xr) = 3l(1 + xr)
Para isolar f(x), dividimos por 1 - x, desde que 1 - xneq0.

Passo 5

Assim chegamos à expressão
f(x) = 3,(1 + x)1 - x

Passo 6

Agora as restrições para o domínio são:
  1. 1 - x neq 0, ou seja, x neq 1.
  2. Originalmente exigíamos f(x)+3neq0, mas verificando
3,(1 + x)1 - x = -3
não há solução em x. Logo, não surge nova restrição.

Resposta

O domínio de f é
x in Rsetminus1,
e a função é
f(x) = 3,(1 + x)1 - x

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